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一般 (コ) ホモロジー

( ) ホモロジ Eilenberg Steenrod により , 有名 [ ES52 ] された

その , K 理論 コボルデ ズム により Eilenberg-Steenrod られることとな K 理論 コボルデ ズム むように Eilenberg-Steenrod した をみたすものが ( ) ホモロ である つまり Eilenberg-Steenrod から 元公 いたもので ある

また Milnor [ Mil62 ] により することが された 現在 では , するのが である

  • CW (CW スペクトラム ) ( ) ホモロジ

Milnor でも されているが , をみたさない ホモロジ とし ては , James Whitehead [ JW58 ] により された homology with zero coefficients がある

CW (CW スペクトラム ) ( ) ホモロジ については , Adams [ Ada74 ] [ 75 ] しく されている ( ) ホモロジ について , しばらくこれらの Swizter [ Swi75 ] ぐらいしかなか これらは はないし , Adams , ( ) ホモロジ するなら んでおくべ である ただ いが いので , Peter May [ May99 ] ordinary (co)homology 理論 してから , これらの ( ) ホモロジ 調 , ordinary (co)homology がどこまで つか えてみるとよいだろ より から かれた としては , Rudyak [ Rud98 ] ある

あるいは , ordinary (co)homology chain complex 使 わず , ( ) ホモ ロジ のみから してみるのもよい になると しい もある えば , relative Mayer-Vietoris については , [ Ste84 ] にな いる

モデル (co)homology theory としては Basterra Mandell [ BM05 ] されているものがある E -ring spectra cohomology theory について 調 べるのがこの であるが

により , ホモロジ ホモトピ となる stable model category , あるいは triangulated category から Abelian category への として えるのは である そのような モロジ したものとしては , Biedermann [ Bie07 ] ある

した , もちろん , をなるべく すべきである

コボルデ ズム なのが コボルデ ズム である した として 以下 のものがある

( ) ホモロジ として スペクトラム (spectrum) がある ペクトラム いると , ( ) ホモロジ スペクトラム ホモトピ とし わされる コホモロジ Brown という いている , 典的 スペクトラム ( えば Adams [ Ada74 ] ) には があり , 90 しい スペクトラム がいくつか れた

のような スペクトラム いた ホモロジ , ホモトピ からは キリ した じがするが , いるのは しい ( ) ホモロ , から したことを えると , より があ ましい

K ホモロジ しては , Baum-Douglas による がある より , ホモロジ bordism から しようという みもある Stolz Teichner [ ST11 ] , supersymmetric field theory コホモロジ “cocycle” として えようとし ている Kasparov KK -theory のような bivariant version えられて いる

Jakob による , えば , Chataur による string topology 研究 [ Cha05 ] Ruffino [ Ruf17 ] differential homology いられている Ruffino [ Ruf ] によ variation もある

( ) ホモロジ する としては , まず Atiyah-Hirzebruch spectral sequence ておくべきだろう

にも スペクトル はあるが , 使 えるものはそう くは ない

コホモロジ でも コホモロジ である

しては , equivariant (co)homology される

References

[Ada74]     J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology . University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1974.

[Bie07]     Georg Biedermann. Interpolation categories for homology theories. J. Pure Appl. Algebra , 208(2):497–530, 2007, arXiv:math/0412388 .

[BM05]     Maria Basterra and Michael A. Mandell. Homology and cohomology of E ring spectra. Math. Z. , 249(4):903–944, 2005, arXiv:math/0407209 .

[Cha05]     David Chataur. A bordism approach to string topology. Int. Math. Res. Not. , (46):2829–2875, 2005, arXiv:math/0306080 .

[EM10]     Heath Emerson and Ralf Meyer. Bivariant K -theory via correspondences. Adv. Math. , 225(5):2883–2919, 2010, arXiv:0812.4949 .

[ES52]     Samuel Eilenberg and Norman Steenrod. Foundations of algebraic topology . Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952.

[Jak98]     Martin Jakob. A bordism-type description of homology. Manuscripta Math. , 96(1):67–80, 1998, https://doi.org/10.1007/s002290050054 .

[Jak02]     Martin Jakob. Bivariant theories for smooth manifolds. Appl. Categ. Structures , 10(3):279–290, 2002, http://dx.doi.org/10.1023/A:1015225622516 . Papers in honour of the seventieth birthday of Professor Heinrich Kleisli (Fribourg, 2000).

[JW58]     I. M. James and J. H. C. Whitehead. Homology with zero coefficients. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) , 9:317–320, 1958, https://doi.org/10.1093/qmath/9.1.317 .

[May99]     J. P. May. A concise course in algebraic topology . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999.

[Mil62]     J. Milnor. On axiomatic homology theory. Pacific J. Math. , 12:337–341, 1962, http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103036730 .

[Rud98]     Yuli B. Rudyak. On Thom spectra, orientability, and cobordism . Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1998.

[Ruf]     Fabio Ferrari Ruffino. Geometric homology revisited, arXiv:1301.5882 .

[Ruf17]     Fabio Ferrari Ruffino. Flat pairing and generalized Cheeger-Simons characters. J. Homotopy Relat. Struct. , 12(1):143–168, 2017, arXiv:1208.1288 .

[ST11]     Stephan Stolz and Peter Teichner. Supersymmetric field theories and generalized cohomology. In Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory , volume 83 of Proc. Sympos. Pure Math. , pages 279–340. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, arXiv:1108.0189 .

[Ste84]     Richard Steiner. The relative Mayer-Vietoris sequence. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 95(3):423–425, 1984, https://doi.org/10.1017/S0305004100061740 .

[Swi75]     Robert M. Switzer. Algebraic topology—homotopy and homology . Springer-Verlag, New York, 1975.

[ 75]     . コホモロジ , volume 4 of . , , 1975.