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モデル圏の一般化

モデル としては , まず モデル しか たないようなものがあ ホモトピ しなければならないので , weak equivalence であるが , えば , cofibration fibration のどちらか つしか たないようなものは , んな えている

Monoidal model category での monoid object module operad algebra category えるときには , model structure めたものが になる Hovey [ Hov ] Spitzweck [ Spi ] など Spitzweck J -semi model category んでいる White Yau [ WY18 ] semi-model category んでいる Nuiten [ Nui ] Fresse monograph [ Fre09 ] して いる

  • semi-model category

には , えば , Kapulkin Lumsdaine [ KL18 ] による intensional type theory semi-model structure Nuiten [ Nui ] による dg Lie algebroid L -algebroid semi-model structure などがある

ホモトピ colimit えるという Anderson-Brown-Cisinski cofibration category という えているのは , Radulescu-Banu [ RB ] である えられているものとして , Dwyer, Hirschhorn, Kan, Smith [ DHKS04 ] homotopical category がある

  • Anderson-Brown-Cisinski cofibration category
  • homotopical category

Farjoun Hess [ FH12 ] , twisted tensor product のような homotopical category twisted homotopical category んで 調 べている Rovelli [ Rov17 ] によると , するためには , めないといけないよ うである

Barwick Kan [ BK12 ] , weak equivalence subcategory category relative category として えている ここでの weak equivalence subcategory する homotopical category での weak equivalence よりず , identity morphism むだけである その , relative category weak equivalence のみ たすべき えた partial model category という [ BK ] して いる

Weak equivalence category model category しようというの , Chacholski Schrerer [ CS02 ] 導入 した model approximation ある

  • model approximation

, ある retract じた subcategory したときに , それを weak equivalence つような model structure するか , という えられる Zakharevich Droz [ DZ15 ] により えられている

Shulman [ Shu11 ] , (Quillen ) derived functor えるために , derivable category という 導入 している

  • derivable category

には , Guillén Navarro Pascual Roig アプロ [ GNPR10 ] ある

  • Cartan-Eilenberg category

これは , weak equivalence strong equivalence 2 morphism された である Cirici Guillén [ CG16 ] , mixed Hodge complex homotopical algebra (homological algebra) なうためには Cartan-Eilenberg category しい みだと している

モデル ではないが , モデル れる lifting property えている がいる [ Gav ] では , Feit-Thompson lifting property しに する statement として えている

, どのような なのだろうか ? えば orbifold stack どは bicategory していると えるべきであるが , その homotopy (bi)category はど のように すればよいだろう ? つの えとして , Pronk Warren [ PW14 ] があ そこでは , bicategory “system fibrant objects” “fibration system” という され , それにより “homotopy bicategory” されている その , model bicategory , Descotte, Dubuc, Szyld [ DDS ] されて いる

  • model bicategory

もちろん , Joyal Lurie らが するように , homotopy category るためには , ( , 1)-category いるという 方法 もある つまり , ( , 1)-category model category いることができるということである

, Mazel-Gee [ MG ] ( , 1)-category model structure えることを している

  • model -category

References

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[BK12]     C. Barwick and D. M. Kan. Relative categories: another model for the homotopy theory of homotopy theories. Indag. Math. (N.S.) , 23(1-2):42–68, 2012, arXiv:1011.1691 .

[CG16]     Joana Cirici and Francisco Guillén. Homotopy theory of mixed Hodge complexes. Tohoku Math. J. (2) , 68(3):349–375, 2016, arXiv:1304.6236 .

[CS02]     Wojciech Chachólski and Jérôme Scherer. Homotopy theory of diagrams. Mem. Amer. Math. Soc. , 155(736):x+90, 2002, arXiv:math/0110316 .

[DDS]     M. E. Descotte, E. J. Dubuc, and M. Szyld. Model bicategories and their homotopy bicategories, arXiv:1805.07749 .

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[DZ15]     Jean-Marie Droz and Inna Zakharevich. Model categories with simple homotopy categories. Theory Appl. Categ. , 30:15–39, 2015, arXiv:1312.4245 .

[FH12]     Emmanuel D. Farjoun and Kathryn Hess. Normal and conormal maps in homotopy theory. Homology Homotopy Appl. , 14(1):79–112, 2012, arXiv:1011.5597 .

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[Gav]     Misha Gavrilovich. Expressing the statement of the Feit-Thompson theorem with diagrams in the category of finite groups, arXiv:1608.05927 .

[GNPR10]     F. Guillén, V. Navarro, P. Pascual, and Agustí Roig. A Cartan-Eilenberg approach to homotopical algebra. J. Pure Appl. Algebra , 214(2):140–164, 2010, arXiv:0707.3704 .

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[KL18]     Krzysztof Kapulkin and Peter LeFanu Lumsdaine. The homotopy theory of type theories. Adv. Math. , 337:1–38, 2018, arXiv:1610.00037 .

[MG]     Aaron Mazel-Gee. Model -categories I: some pleasant properties of the -category of simplicial spaces, arXiv:1412.8411 .

[Nui]     Joost Nuiten. Homotopical algebra for Lie algebroids, arXiv:1712.03441 .

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[WY18]     David White and Donald Yau. Bousfield localization and algebras over colored operads. Appl. Categ. Structures , 26(1):153–203, 2018, arXiv:1503.06720 .