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Symplectic structure の一般化

symplectic structure すことができ , られている

symplectic structure , 標変 たときに , のず れがあ てもよい , というものは conformal symplectic structure ばれるらしい Chantraine Murphy [ CM ] Introduction にいくつか げられて いる

  • conformal symplectic structure

Lichnerowicz [ Lic78 ] により 導入 された Jacobi manifold , contact structure symplectic structure にな ているものである

  • Jacobi manifold

Severa [ Šev05 ] によると , NQ-manifold という graded manifold いる , symplectic structure Σ n -manifold という のも のと えることができるようである Σ 0 -manifold symplectic manifold, Σ 1 -manifold Poisson manifold, Σ 2 -manifold Courant algebroid とい じで ある

  • Σ n -manifold

Symplectic manifold 素多 として , Hitchin による generalized complex geometry がある

Nondegenerate closed ( n + 1)-form multisymplectic manifold ( n -plectic manifold) というものも えられている まずは , Rogers thesis [ Rog11 ] てみる とよいと

  • multisymplectic manifold

Rogers thesis , Ibort らの [ CIdL99 Ibo01 ] Baez らの [ BHR10 ] などで 調 べられている Severa approach との については , Rogers [ Rog13 ] えてい , 2-plectic manifold から Σ 2 -manifold, つまり Courant algebroid 方法 えている

その , Frégier Rogers Zambon [ CFRZ16 ] , moment map している Lie algebra わりに L -algebra いるとよいようで ある

Pantev, Toën, Vaqui’e, Vezzosi [ PTVV13 ] derived algebraic geometry quantization えるために , n -shifted symplectic structure という 導入 した

  • n -shifted symplectic structure

Calaque [ Cal15 ] がその boundary きの への している Calaque によると , Pantev らの 仕事 , Alexandrov, Kontsevich, Schwarz, Zaboronsky [ ASZK97 ] する conceptual framework えるもののようで ある

Shifted symplectic structure Pantev らの げられている Calaque [ Cal ] , shifted cotangent stack canonical shifted symplectic structure つこと している

References

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[BHR10]     John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher L. Rogers. Categorified symplectic geometry and the classical string. Comm. Math. Phys. , 293(3):701–725, 2010, arXiv:0808.0246 .

[Cal]     Damien Calaque. Shifted cotangent stacks are shifted symplectic, arXiv:1612.08101 .

[Cal15]     Damien Calaque. Lagrangian structures on mapping stacks and semi-classical TFTs. In Stacks and categories in geometry, topology, and algebra , volume 643 of Contemp. Math. , pages 1–23. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, arXiv:1306.3235 .

[CFRZ16]     Martin Callies, Yaël Frégier, Christopher L. Rogers, and Marco Zambon. Homotopy moment maps. Adv. Math. , 303:954–1043, 2016, arXiv:1304.2051 .

[CIdL99]     F. Cantrijn, A. Ibort, and M. de León. On the geometry of multisymplectic manifolds. J. Austral. Math. Soc. Ser. A , 66(3):303–330, 1999.

[CM]     Baptiste Chantraine and Emmy Murphy. Conformal symplectic geometry of cotangent bundles, arXiv:1606.00861 .

[Ibo01]     Alberto Ibort. Multisymplectic geometry: generic and exceptional. In Proceedings of the IX Fall Workshop on Geometry and Physics (Vilanova i la Geltr ú, 2000) , volume 3 of Publ. R. Soc. Mat. Esp. , pages 79–88. R. Soc. Mat. Esp., Madrid, 2001.

[Lic78]     André Lichnerowicz. Les variétés de Jacobi et leurs algèbres de Lie associées. J. Math. Pures Appl. (9) , 57(4):453–488, 1978.

[PTVV13]     Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. Shifted symplectic structures. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. , 117:271–328, 2013, arXiv:1111.3209 .

[Rog11]     Christopher Lee Rogers. Higher Symplectic Geometry . ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2011, arXiv:1106.4068 . Thesis (Ph.D.)–University of California, Riverside.

[Rog13]     Christopher L. Rogers. 2-plectic geometry, Courant algebroids, and categorified prequantization. J. Symplectic Geom. , 11(1):53–91, 2013, arXiv:1009.2975 .

[Šev05]     Pavol Ševera. Some title containing the words “homotopy” and “symplectic”, e.g. this one. In Travaux math ématiques. Fasc. XVI , Trav. Math., XVI, pages 121–137. Univ. Luxemb., Luxembourg, 2005, arXiv:math/0105080 .