位相の概念の拡張

位 相 空 間 の 概 念 の 拡 張 としては , まず Grothendieck topology そして topos が ある 。

• Grothendieck topology
• topos

より 位 相 空 間 に 近 いものとして , Garner [ Gar12 ] の ionad がある 。

• ionad

Delf と Knebusch の [ DK85 ] で 使 われている “generalized topological space” も Grothendieck topology の 特 別 な 場 合 である 。 開 集 合 に 対 応 する 部分 集 合 族 で 定 義 されるが , 和 集 合 に 関 しては 有 限個 の 和 集 合 で 閉 じていることしか 仮 定 されない 。 その 代 わり , covering の familiy が 指 定 されている 。 Delf と Knebusch は , その generalized topological space 上 の ringed space を 用 いて semialgebraic space, そして locally semialgebraic space という 概 念 を 導入 して いる 。

• semialgebraic space と locally semialgebraic space

幾 何 学 的 要 請 から 登 場 したものとしては , coarse structure ( あるいは bornological space) がある 。 Chen や Souriau の 考 えた , diffeology というものもある 。

• coarse structure
• bornology
• diffeology

Proper homotopy theory のための exteriology というものを 持 つ exterior space と いうものもある 。 Garcia-Calcines と Garcia-Pinillos と Hernandez-Paricio の [ GCGPHP98 ,  GCGPHP04 ] では , その model structure が 構 成 されている 。 また , [ GCHPRR13 ] では 力 学 系 への 応 用 が 考 えられている 。

• exterior space

Category theory の 視 点 からは , 位 相 空 間 の category は cartesian closed でないな どの 不 具 合 があるので , 位 相 空 間 の category を 含 むような 良 い category を 構 成 しよう という 試 みがある 。 Garner の [ Gar14 ] の Introduction には , 次 のようなものが 挙 げら れている 。

• epitopological space
• pseudotopological space
• quasitopological space
• approach space
• convergence space
• uniformity space
• nearness space
• filter space
• Kelley space
• Δ-generated space

この 中 で , epitopological space と pseudotpological space については , Dossena [ Dosa ] により , topological fundamental group を 拡 張 するために 用 いられて いる 。

文 献 としては , pseudotopological space については , Choquet の [ Cho48 ] , Bentley, Herrlich, Lowen の [ BHL91 ] , Herrlich, Lowen-Colebunders, Schwarz [ HLCS91 ] Wyler の [ Wyl91 ] が , epitopological space については , Antoine の [ Ant66 ] , Bourdaud の [ Bou75 ] Machado の [ Mac73 ] が 挙 げられている 。

Quasitopological space は , Spanier により [ Spa63 ] で 導入 されたものである 。 Browne [ Bro ] により , separable C ^* -algebra の E -theory を 表 す spectrum を 構 成 する のに 使 われている 。

Approach space は Lowen [ Low89 ] により 導入 されたものである 。 Li と Zhang の [ LZ ] では , Lowen の 本 [ Low15 ] も 参 照 されている 。

Dossena は [ Dosb ] で neighborhood space というものについて 調 べている 。 Kent と Min の [ KM02 ] を 参 照 している 。

• neighborhood space

より 初 等 的 な アイデア としては , 集 合 X の 巾 集 合 2 ^X を 写 像 X →{ 0 , 1 } の 集 合 と みなし , { 0 , 1 } をより 大 きな 集 合 L に 取 り 替 えるというものもある 。 Noor と Singh の [ NS ] では L -topology と 呼 ばれている 。

• L -topology

他 に , locale も 位 相 の 一 般 化 と 言 っ てよいだろう 。 位 相 空 間 の 開 集 合 族 の 成 す lattice が locale の 典 型 的 な 例 だからである 。

• locale と 関 連 した 概 念

代 数 幾 何 学 的 には , sheaf of commutative rings が 位 相 空 間 の 乗 っ た ringed space を 考 えるのが 普 通 である 。 その 一 般 化 として , Durov の vectoid [ Dur11 ] などが ある 。

• ringed space
• vectorid

References