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単体的集合や単体的空間の幾何学的実現

X , その (geometric realization) ばれる | X | する 方法 がある

explicit べられたのは , Segal [ Seg68 ] ろうか Segal “all the ideas are implicit in the work of Grothendieck” てい るが その , Segal [ Seg74 ] Appendix にまとめられている には Drinfel d [ Dri04 ] Besser [ Bes ] Grayson した approach がある Grayson ここから download できる

Segal appendix では degeneracy いない fat realization X * について しく べられている その でも 以下 のものである

  • f : X * Y * simplicial space morphism , n f n : X n Y n ホモトピ であるなら , fat realization された
    ∥f∥ : ∥X *∥ - → ∥Y*∥

    ホモトピ である

  • n について ,
          ⋃n
sXn =    si(Xn -1)
      i=0

    とおく もし ての n sX n `→ X n cofibration ならば ,

    ∥X *∥ -→ |X *|

    ホモトピ になる

については , Segal にも はあるが , tom Dieck [ tD74 ] にも ある

このように , fat realization つので simplicial space から degeneracy いたものも , Δ-space などと ばれて いる

ホモトピ , simplicial space morphism f : X * Y * する | f | : | X |→| Y | , いつ cofibration になるか , fibration になるか , というのは である

Cofibration については , Angelini-Knoll Salch [ AKS ] Introduction とそこ げられている るとよい , symmetric spectrum えることであるが

fibration になるための については , universal principal G -bundle

EG -→  BG

して 調 べられている より monoid G X Y にそれぞれ から しているとき , bar B * ( X,G,Y ) ばれる simplicial space される

bar いると , EG BG simplicial space して できるし , projection simplicial map にな いる

より simplicial space morphism たとき fibration ( quasifibration ) になるための めることは である これについて 以下 のものがある

Anderson , には bisimplicial set をしている simplicial set , simplicial space するのが bisimplicial set だからで ある

May [ May72 ] operad による けを , two-sided bar construction いている

  • における monad C C -functor F C -algebra X , two-sided bar construction B ( F,C,X )

としての 調 べたものはあまりなか , Segal [ Seg74 ] のことが べられている

  • Simplicial space X * について , X 0 ならばその | X * | 部分 による numerable 被覆

では , de Seguins-Pazzis [ dSP13 ] がある そこでは , X n Hausdorff であ simplicial space X * geometric realization Hausdorff であることが れている このようなことがつい まで られていなか たとは きで ある

  • Hausdorff simplicial space geometric realization Hausdorff

de Seguins-Pazzis として , compactly generated Hausdorff simplicial space compactly generated Hausdorff になることがわかる これは Segal [ Seg68 ] § 1 最後 べられていることである

  • compactly generated Hausdorff simplicial space compactly generated

de Seguins-Pazzis によると , compactly generated weak Hausdorff simplicial space compactly generated weak Hausdorff であることは , G. Lewis thesis appendix いてあるらしい

Bisimplicial set , diagonal simplicial set する

References

[AKS]     Gabe Angelini-Knoll and Andrew Salch. Maps of simplicial spectra whose realizations are cofibrations, arXiv:1611.06215 .

[And78]     D. W. Anderson. Fibrations and geometric realizations. Bull. Amer. Math. Soc. , 84(5):765–788, 1978, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14512-1 .

[Bes]     Amnon Besser. A simple approach to geometric realization of simplicial and cyclic sets, arXiv:math/0305254 .

[Dri04]     Vladimir Drinfeld. On the notion of geometric realization. Mosc. Math. J. , 4(3):619–626, 782, 2004, arXiv:math/0304064 .

[dSP13]     Clément de Seguins Pazzis. The geometric realization of a simplicial Hausdorff space is Hausdorff. Topology Appl. , 160(13):1621–1632, 2013, arXiv:1005.2666 .

[May72]     J. P. May. The geometry of iterated loop spaces . Springer-Verlag, Berlin, 1972.

[Qui73]     Daniel Quillen. Higher algebraic K -theory. I. In Algebraic K -theory, I: Higher K -theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) , pages 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973.

[Seg68]     Graeme Segal. Classifying spaces and spectral sequences. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , (34):105–112, 1968, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0 .

[Seg74]     Graeme Segal. Categories and cohomology theories. Topology , 13:293–312, 1974, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6 .

[tD74]     Tammo tom Dieck. On the homotopy type of classifying spaces. Manuscripta Math. , 11:41–49, 1974, https://doi.org/10.1007/BF01189090 .