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Gerbe と関連した概念

Gerbe , Giraud [ Gir71 ] によ コホモロジ 研究 のために 導入 された である うと stack of groupoids であるが , × fiber とする gerbe , えば line bundle のようなものであり , するのに 使 おうという みがある 微分 での motivation としては mirror symmetry との Hitchin により [ Hit01 ] べられ ている 理論 でも [ Kal99 ] など popular になりつつあるようで ある

Line bundle があるように , gerbe にも アプロ えら れる

  • sheaf of groupoids としての gerbe [ Bry93 ]
  • bundle gerbe [ Mur96 ]
  • principal B × -bundle としての gerbe [ Gaj97 ]
  • Cech cocycle による

Gerbe については , Brylinski [ Bry93 ] としてよく げられている Gajer [ Gaj97 ] Appendix A には gerbe principal B × -bundle してある トポロジ にはこの かりやすいと その にある のが Stevenson thesis [ Ste00 ] である 2-gerbe bundle 2-gerbe とそれらに H 4 ( X ; ) について されている Gerbe bundle gerbe する として しておくべきである にも 以下 のような になる

より , Grothendieck site locally connected presheaf of groupoid とし うこともできる Jardine [ Jar10 ] では , その gerbe での homotopy いた ている そこで いられている cocycle category Jardine により [ Jar09 ] されたものである

Gerbe line bundle でなので , vector bundle する しようとするのは であり , くの みがあ えば , その connection えることは 研究 から なわれて きた

  • gerbe with connection
  • connective structure [ BM05 ]
  • curving
  • gerbe extension [ Yek10 ]

Connective structure curving gerbe 2 Deligne cohomology される

Aldrovandi [ Ald08 ] によると , connective structure “gerbe bound by complex” という らしい この , 2-gerbe bound by complex ることであるが

  • gerbe bound by complex

Equivariant gerbe Brylinski [ Bry ] appendix べられている

  • equivariant gerbe
  • orbifold connection gerbe holonomy map [ LU06 ]

Gomi equivariant smooth Deligne cohomology [ Gom05 ] 導入 , それが connective structure curving equivariant gerbe することを して いる

Bundle gerbe equivariant もある Murray, Roberts, Stevenson, Vozzo [ MRSV17 ] である また Hekmati, Murray, Szabo, Vozzo [ HMSV ] では , 2 つときの Real bundle gerbe 導入 され , 調 べられて いる

  • equivariant bundle gerbe
  • Real bundle gerbe

line bundle × fiber bundle であり , その classifying map

X - → B ℂ× ≃ K (ℤ,2)

される つまり H 2 ( X ; ) されるわけであるが , それは first Chern class c 1 である ( )gerbe Dixmier-Douady class という 3 コホモロジ されることが られている

  • gerbe Dixmier-Douady class
  • gerbe Dixmier-Douady class されること

Dixmier-Douady class 3 Čech cohomology として られるが , からは de Rham cohomology として する がよい Self-adjoint Fredholm operator gerbe Dixmier-Douady class については Carey Mickelsson [ CM02 ] 調 べている

Bundle gerbe についても , Dixmier-Douady class されることが ている ただし されるのは , isomorphism class ではなく stable isomorphism class ある

  • bundle gerbe stable isomorphism
  • bundle gerbe stable isomorphism class Dixmier-Douady class されること [ MS00 ]

Waldorf [ Wal07 ] によると , stable isomorphism bundle gerbe 2-category えときの 1-morphism とみなすべきもののようである Waldorf stable isomorphism しい 1-morphism している

このように gerbe H 3 ( X ; ) されるわけであるが , H 3 ( X ; ) えられると , その による K -theory twisting られる となると , gerbe から K -theory twisting したくなるが , bundle gerbe twisted K -theory との については Carey らの [ BCM + 02 ] 調 べられている Orbifold gerbe から orbifold K -theory twisting することは , Lupercio Uribe [ LU04a ] われている

Paul Turner [ BTW04 ] によると , gerbe rank one homotopy quantum field theory とほぼ 同等 のものらしい

Line bundle section global であることの , gerbe section とし わすことも えられている Theta のある line bundle holomorphic section として わされることの として , Felder Henriques Rossi Zhu [ FHRZ08 ] elliptic gamma function をある stack gerbe section として わしている

Poisson manifold 微分 しては , deformaion quantization えられるが , その として gerbe deformation quantization えられる Bressler らが [ BGNT07 BGNT08 ] 調 めている Deligne 2-groupoid などが しているようである

Gerbe higher version , もちろん えられる ホモトピ にも とも りや すいのが , p 1 として principal B p × -bundle えることだろう Higher bundle gerbe Carey Murray Wang [ CMW97 ] されている Bundle 2-gerbe Waldorf [ Wal13 ] 使 われている

  • 2-gerbe bundle 2-gerbe

, gerbe げて vector bundle えようというのも アイ デア である また なものにするという もある , 2-group にすることも えられている

References

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