群論

代 数 的 トポロジ ー で 使 われる 代 数 的 構 造 として , 群 は 最 も 基 本 的 である 。 ホモロ ジ ー や 2 次 元 以 上 の ホモトピ ー 群 などは ア ー ベル 群 に 値 を 持 つ 位 相 空 間 の 不変 量 である が , 基 本 群 のように 可 換 とは 限 らない 群 に 値 を 持 つ 不変 量 もある 。 また , 様 々 な 重 要 な 空 間 が 群 の 分 類 空 間 として 構 成 される 。

逆 に 群 を 調 べるために 幾 何 学 的 な テクニ ッ ク を 用 いることもよく 行 なわれている , た とえば geometric group theory という 分 野 がある 。

• geometric group theory

別 の “ 幾 何 学 的 ” な アプロ ー チ としては , Majid らによる 非 可 換幾 何 学 に 基 づいたも のがある 。 [ Maj ,  PMR ] など 。

群 は , もちろん , 変 換 群 , つまりあるものの 対 称性 を 表 わすものとしての 役 割 が 本来 のものである 。 つまり , 群 の 作 用 である 。 ベクトル 空 間 に 線 型 に 作 用 する 場 合 は 群 の 表 現 と 言 っ たりする 。 最 近 では , 群 の 圏 への 作 用 も 重 要 にな っ てきて いる 。

• 群 論 の 基 礎
• ア ー ベル 群
• word problem
• 有 限 群
• 離 散 群
• 対 称 群 について
• reflection group と Coxeter group
• 2-group
• 表 現 論
• 群 の 圏 への 作 用

代 数 的 トポロジ ー に 関 係 の 深 い 話 題 としては , 群 の コホモロジ ー がある 。 群 の 分 類 空 間 の コホモロジ ー と 考 えることができるからである 。 最 近 では , fusion system などの 道 具 が 分 類 空 間 の ホモトピ ー 論 に 導入 されている 。

• 群 の コホモロジ ー
• 分 類 空 間
• 有 限 群 の 部分 群 の 成 す poset や small category

正 規 部分 群 などの 概 念 を up to homotopy にすることも 考 えられている 。 Farjoun と Segev の [ FS10 ] や Prezma の [ Pre ] など 。

群 論 とは 言 えないかもしれないが , 圏 論 的 に 群 を 見 ると 見 通 しが 良 くなることも 多 い 。 例 えば , 群 は object が 一 つで 全 ての morphism が 逆 を 持 つ 小 圏 とみなすことができ る 。 分 類 空 間 の 構 成 は , 最 初 は 群 に 対 して 行 われたが , このようにみると 一 般 の 小 圏 で 行 うのが 自 然 に 思 えるだろう 。 また 中 心 や 半 直 積 のように , 群 論 における 基 本 的 な 概 念 が 圏 に 一 般 化 されることも 多 い 。 中 心 の 一 般 化 は 誰 が 最 初 に 考 えたのか 分 からないが , 例 えば Chirvasitu の [ Chi ] にある 。 半 直 積 の 圏 論 的 一 般 化 は Grothendieck construction である 。

別 の 圏 論 的 視 点 としては , tautological ではあるが , 集 合 の 圏 での group object とい う 見 方 がある 。 一 般 の monoidal category での group object やその 類 似 は 様 々 な 分 野 で 現 れる 。 Blohmann と Weinstein の [ BW ] など 。 ただ , 通 常 の group object の 定 義 はお かしい と 思 っ ている 人 もいるようである 。

• 群 の 概 念 の 一 般 化

References