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群の圏への作用

G のある C object X への ,

G -→  Aut (X )
         C

である G object つの groupoid とみなして , functor

G -→  C

てもよい

では , X での object たらどうだろうか もちろん strict 使 えるが , はも になる つま up to isomorphism にな ているものである つの object isomorphism であるときには , はそれらは して えるからで ある

つまり , bicategory になるので , lax functor oplax functor として えな いといけないわけである

Khovanov Thomas [ KT07 ] によると , への えたのは Deligne [ Del97 ] らしい そして “genuine action” “weak action” についても えて いる

  • への genuine action
  • への weak action

への weak action えられるが , これは Maier Nikolaus Schweigert [ MNS12 ] , equivariant extended topological quantum field theory するのに 使 われている

Deligne [ Del97 ] , monoid 生成 えられているとき , coherence condition ない するにはどうすればよいか , という braid えたものである それを monoid えるために , Gaussent Guiraud Malbos [ GGM15 ] monoid 2-category とみなし , 2-category category model structure cofibrant replacement ることを して いる

Khovanov Seidel らによる 研究 れることから かるように , braid への , homological mirror symmetry などに また Klein coherent sheaf derived category にも れる

Mapping class group categorification として , mapping class group のある algebra derived category への しているのは , Lipshitz Ozsváth Thurston [ LOT13 ] である Siegel [ Sie ] はその 純粋 combinatorial だけ ている

したものとして Coxeter group がある Elias Williamson [ EW ] Braid 使 われている Lazaroiu [ Laz07 ] などであ そこで 使 われている skew category Cibils Marcos [ CM06 ] されたも のである

Cibils Marcos , G k - linear category C しているときに , その quotient C ∕G する である Keller [ Kel05 ] Asashiba [ Asa11 ] でも され , orbit category ばれている また Asashiba はこれら つの であることも している

  • k -linear category しているときに , その orbit category あるい skew category

てはいけないときに りたい というのは , われる であり , などでは stack , ホモトピ では Borel construction など , えられてきた k -linear category への orbit category である poset への のときには Borcherds [ Bor98 ] があり homotopy quotient ばれている Triangulated category への えるときに , dg enhancement 使 ているのは , Sosna [ Sos12 ] ある

motivation づいて されたものなので , これらの らかの があ ると えるのは であるが , orbit category k -linear category での Borel construction えてもよい Borel construction homotopy colimit であり , Thomason [ Tho79 ] により homotopy colimit Grothendieck construction して していることが されているが , orbit category k -linear category category での Grothendieck construction えら れる

また , triangulated category model category による enhancement , model category category での homotopy colimit [ Ber14 ] quotient るという アイデア もある Bergner Robertson [ BR15 ] えられて いる

  • model category homotopy colimit

Enrich されていない , Grothendieck construction right adjoint として comma category による があるが , k -linear category smash product construction という がある これは G -graded category から G する category する 方法 である Asashiba [ Asa17 ] Grothendieck construction smash product construction により G する k -linear category 2-category G -graded category 2-category equivalent になることを して いる

このような quotient ではなく , りたい もある たものの , をと てから たものの については , Babson Kozlov [ BK05 ] poset えている

G への があるときに , しい 方法 として , Drinfel d [ DGNO10 ] equivariantization という 導入 した

G free しているときは projection X X∕G 被覆 になるから , category への しても する covering えるのは である

えない covering , えば , Bridson Haefliger [ BH99 ] ある

category への して Mackey functor することもで きる Burciu [ Bur ] 導入 され , categorical Mackey functor ばれて いる

べたように , small category 全体 bicategory すため , ではなく 2-group えるのも がある そのような 研究 としては , Morton Picken [ MP15 ] がある

  • 2-group small category への

また , bicategory への えられている Bernaschini, Galindo, Mombelli [ BGM ] など

  • bicategory への

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