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Categories with Weak Equivalences and Fibrations or Cofibrations

モデル weak equivalence, fibration, cofibration 3 morphism れたものであるが , その めたものとして fibration cofibration しか たないものを えることもある があるが , Radulescu-Banu [ RB ] Chapter 2 されているので , まずはそれを るとよいと

Waldhausen algebraic K -theory of spaces [ Wal85 ] では “category with cofibrations” “category with weak equivalences”, そして “category with cofibrations and weak equivalences” とい いられている Waldhausen algebraic K -theory するためには , その cofibration weak equivalence てばよい

  • Waldhausen category

, K.S. Brown [ Bro73 ] “category of fibrant objects” という weak equivalence fibration しか たない えている

  • K.S. Brown category of (co)fibrant objects

, Baues [ Bau89 ] cofibration category というものを しているが , そこで D.W. Anderson [ And78 ] left homotopy structure Heller [ Hel68 ] h-c-category なども げられて , されている

  • Baues (co)fibration category
  • D.W. Anderson left homotopy structure
  • Heller h-c-category

K.S. Brown のものは , その りすべての object fibrant なものであるが , fibrant でない object した ABC fibration category ばれているようで ある ABC とは Anderson-Brown-Cisinski である これについては , Radulescu-Banu [ RB ] るとよい

  • ABC (co)fibration category

ABC cofibration category enriched version Vokřínek [ Vok ] により えられて いる

Szumło [ So16 ] , Brown category of fibrant objects したもの dual “cofibration category” んでいるが , これは ABC cofibration category ての object cofibrant なものである “(co)fibration category” ぶと Baues のものや ABC (co)fibration category がつか ずまぎらわしい ここでは Szumilo (co)fibration category ぶことにし よう

, その Szumilo cofibration category category Szumilo fibration category すことを すことにより , Szumilo cofibration category homotopy theory している また [ So17 ] では , それが cocomplete quasicategory homotopy theory であることを している

より 導入 されたものとしては , Barnea Schlank weak fibration category [ BS16 ] がある その dual である weak cofibration category [ BS ] 調 べられて いる

  • weak (co)fibration category

Waldhausen category algebraic K -theory いられるため , にす その ( , 1)-version として , Waldhausen -category とか Waldhausen quasicategory とかいう えられるようにな Barwick [ Bar16 ] , Fiore Lück [ FL ] , そして Fiore [ Fio ] など

  • Waldhansen -category

Barwick のものも Fiore Lück のものも , weak equivalence する quasicategory まれると , cofibration する subcategory して することで している それらが なのかが になるが , Fiore Lück Proposition 4.3 であることが されて いる

Baues fibration category としては , Kahl [ Kah06 ] による relative pospace などがある

Ken Brown category of fibrant objects として , van den Berg Moerdijk [ vdBM ] category with path objects 導入 した

  • category with path objects

References

[And78]     D. W. Anderson. Fibrations and geometric realizations. Bull. Amer. Math. Soc. , 84(5):765–788, 1978.

[Bar16]     Clark Barwick. On the algebraic K -theory of higher categories. J. Topol. , 9(1):245–347, 2016, arXiv:1204.3607 .

[Bau89]     Hans Joachim Baues. Algebraic homotopy , volume 15 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics . Cambridge University Press, Cambridge, 1989, http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511662522 .

[Bro73]     Kenneth S. Brown. Abstract homotopy theory and generalized sheaf cohomology. Trans. Amer. Math. Soc. , 186:419–458, 1973.

[BS]     Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. From weak cofibration categories to model categories, arXiv:1610.08068 .

[BS16]     Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. A projective model structure on pro-simplicial sheaves, and the relative étale homotopy type. Adv. Math. , 291:784–858, 2016, arXiv:1109.5477 .

[Fio]     Thomas M. Fiore. Approximation in K -theory for Waldhausen Quasicategories, arXiv:1303.4029 .

[FL]     Thomas M. Fiore and Wolfgang Lück. Waldhausen Additivity: Classical and Quasicategorical, arXiv:1207.6613 .

[Hel68]     Alex Heller. Stable homotopy categories. Bull. Amer. Math. Soc. , 74:28–63, 1968.

[Kah06]     Thomas Kahl. Relative directed homotopy theory of partially ordered spaces. J. Homotopy Relat. Struct. , 1(1):79–100, 2006, arXiv:math/0601079 .

[RB]     Andrei Radulescu-Banu. Cofibrations in Homotopy Theory, arXiv:math/0610009 .

[So16]     Karol Szumił o. Homotopy theory of cofibration categories. Homology Homotopy Appl. , 18(2):345–357, 2016.

[So17]     Karol Szumił o. Homotopy theory of cocomplete quasicategories. Algebr. Geom. Topol. , 17(2):765–791, 2017.

[vdBM]     Benno van den Berg and Ieke Moerdijk. Exact completion of path categories and algebraic set theory, arXiv:1603.02456 .

[Vok]     Lukáš Vokřínek. Enriched cofibration categories, arXiv:1501.06807 .

[Wal85]     Friedhelm Waldhausen. Algebraic K -theory of spaces. In Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983) , volume 1126 of Lecture Notes in Math. , pages 318–419. Springer, Berlin, 1985.