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高次の圏

Topological quantum field theory などのおかげで , もかなり にな てきたようである The String Coffee Table から して The n -Category Café とい group blog ができている また nLab という Wiki もできていて , ある

そこに では n -category について 以下 ( ) げられて いる

Cobordism hypothesis extended topological quantum field theory については , Hopkins Lurie [ Lur09b ] により きく したようである これについては , Schommer-Pries [ SP14 ] むとよい

n -category としては , まず John Baez によるもの [ Bae97 ] がある Schommer-Pries Baez らに たもので , homotopy hypothesis, stabilization hypothesis, cobordism hypothesis かれてい その Baez May した “Towards higher categories” という [ BM10 ] ( ) もある そこに されている nLab から download できる これは , MathOverflow のこの する May

Ronald Brown web site には “higher dimensional algebra” する がある もいくつか てきた Lurie higher topos theory する [ Lur09a ] んでいる Simpson [ Sim12 ] アプロ Lurie されたものから part V けたものであるが , その arXiv [ Simc ] もある Baez Shulman [ BS10 ] , コホモロジ など トポロジ n -category から ようというものであ Baez Lauda [ BL11 ] , がどのように したかを してあり Eugenia Cheng web site から download できる Cheng Lauda による guide book には n -category がある そう , ても があるので ある

まずは ( n - 1)-category enrich された category として される ものがある には strict n -category ばれるものである この n -category , ( n - 1)-category categorification とみなすこともで きる

この n -category トポロジ しでも たことのある なら できるだろう (object = 0-morphism) (morphism = 1-morphism) ホモトピ (2-morphism) すものが 2-category であ ただし ホモトピ パラメ さが 1 とは らないもので , ホモ トピ さを である つまり Moore loop space ある

Baez にも かれているように , この strict n -category ときつすぎる われるのはも higher category なのである ところが , strict n -category をどのように めるかについて , 選択 があることである このことについては Leinster [ Lei02 ] むとよい Leinster について いていて , した 全体像 るのに Leinster ている 10 にも May している operad いたものがある May ムペ から download できる “ Operadic categories, A categories, and n -categories” というものである Simpson [ Simb ] Dwyer-Kan localization いて n -category をしてい また Toën 一意 のために [ Toë05 ] “theory of (1 , )-category” 導入 している では , Lurie -category あるいは ( , 1)-category という 定着 しているようであるが , identity morphism めるという アイデア もある Joachim Kock [ Koc06 ] であ にも , category object るという して という アイデア もある Fiore Paoli [ FP10 ] n -fold category んで いる

これらの みで operad たしている E. Cheng [ Che11 ] operad いて された Trimble n -category Batanin n -category [ Bat98 ] ている Maltsiniotis [ Mal ] によると , Batanin のものは Grothendieck “Pursuing Stacks” えた -groupoid とかなり いようで ある

  • Grothendieck -groupoid

Grothendieck -groupoid については , Ara [ Ara13a ] をまず てみるの がよいと Ara [ Ara13b ] strict -groupoid との いる

また opetope という 有用 であるらしい

Opetope については , [ BD98 Che04 Che03 KJBM10 ] などの がある Leinster [ Lei04 ] にも がある

Topological quantum field theory 使 うことを えたものとして , Smyth Woolf [ SW ] Whitney n -category というものがある topological quantum field theory 使 うために えられたのが Feshbach Voronov [ FV ] pseudo n -category である

n -category , このような , まだ でも 使 える であるとは えない , 2-category 使 われている その 3-category , Cheng Makkai [ CM09 ] introduction にもあるように , Gordon Power Street tricategory [ GPS95 ] をはじめとして , いくつか モデル えられているが Hoffnung [ Hof ] によると , その tetracategory , 1995 Trimble Street への 手紙 かれているらしい , この Hoffnung にその れている

Weak 2-category (bicategory) weak 3-category (tricategory) いは , strict 2-category えることができるのに , はできないことにある Weak 3-category Gray category にしかできないのである より えると きには , この Gray category しなければならないが , それを multitensor という により えているのが Weber らの 仕事 [ BW11 Web13a Web13b BCW ] である

  • multitensor

n →∞ とすると -category または ω -category という られる ω -category Street により [ Str87 ] 導入 されたものである その , Street weak ω -category している

  • strict ω -category
  • weak ω -category [ Str03 ]
  • oriental

ω -category には があるが Steiner [ Ste04 ] によると , strict ω -category chain complex functor とみなすのが なようである また Steiner [ Ste07b ] , strict ω -category full subcategory である Joyal Θ についても , chain complex いた えている

Rezk [ Rez10 ] , その Joyal Θ いた weak n -category して いる

Street タイトル にもある oriented simplex oriental とも ばれ , ω -category いものである Steiner [ Ste07a ] oriental えている Aitchison [ Ait ] によると , Street motivation Roberts [ Rob79 ] による relativistic qunatum field theory formulation のためのものだ たようである Aitchison cube えている

Street strict n -category 調 べるために [ Str76 ] えた computad という , Batanin [ Bat ] らにより weak n -category 使 えるように されている じものは Burroni Métayer [ Mét03 ] polygraph という 使 いるようである Métayer [ Mét ] globular set づいた -category での cofibration ( trivial fibration) , polygraph いて して いる

Hermida らにより [ HMP02 ] 導入 された multitopic set , Harnik らの [ HMZ ] よると computad multicategory のようである

  • computad あるいは polygraph
  • multitopic set

ω -category , nerve しようという みもある Simplicial nerve につい ては Verity [ Ver08 ] , cubical nerve については Steiner らの [ AABS02 ] [ Ste06 ] など がある

Verity title にある complicial set , 1970 ばに John Roberts により えられたものらしい

C. Simpson [ Sima ] n -category での (co)limit について えている Homotopy (co)limit との についても えている

アプロ として double category した n -fold category いたもの がある Paoli [ Paoa Paod Paoc ] により 研究 されている

  • weakly globular n -fold category

Paoli [ Paob ] はその 研究 についてまとめたものであるが , Part I higher category についての としても 使 える

にも , ある nerve small category simplicial set んでいて , しかもその Kan complex とよく けを つことに , Kan complex めたもの , つまり weak Kan complex , 2 morphism invertible である -category (( , 1)-category) として いるという アイデア もある より , n morphism invertible であることを した , ( ,n )-category えられている , これらは “homotopy theory of homotopy theory” model とも えら れる

groupoid などの small category えられている して , 調 べられるようにな

としては , いた topological quantum field theory Lurie らの derived algebraic geometry などが につく には , Schreiber らの による 微分 やその への などがある

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