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Homology of Small Categories

Small category monoid (many-objectification) であるから , ( ) ホモロジ して , small category ( ) ホモロジ することがで きる

  • bar construction による small category ( ) ホモロジ

これは , derived functor としての じことである また , ( ) モロジ とみなすこともできる

  • C small category とし L BC local coefficient system とすると , がある
               ~    p
Hp (BC; L ) =   colCimL
  p        ~    p
H  (BC; L ) =   liCm L
    ただし colim p lim p はそれぞれ colim lim p -th left および right derived functor である

cohomology ている なら , より , small category C , Ext C * ( M,N ) Tor * C ( M,N ) できそうだと うだろう module M N としては functor , このような (co)homology することができる Object S である small category 頂点 S である quiver monoidal category での monoid object みなすことができるが , その monoid left module right module covariant functor contravariant functor ならないからである このよ うな small category (co)homology functor (co)homology ぶら しい

  • functor (co)homology

としては , Pirashvili [ Pir03b ] がある Kurdiani Pirashvili [ KP ] による , Pirashvili [ Pir03a ] されたもののようである この Pirashvili では André-Quillen homology functor homology として せることが されてい にも (co)homology functor homology として せるようで ある

Small k -linear category Hochschild (co)homology , Mitchell [ Mit72 ] 導入 れたので , Hochschild-Mitchell (co)homology ばれることが

Dwyer Kan [ DK88 ] , small category Hochschild-Mitchell cohomology, simplicial category cohomology, simplicial set ホモトピ cohomology 3 している

Small category (co)homology としては Baues Wirsching によるものも ある

Calvo-Cervera Cegarra [ CCC ] によると , monoid ( small category とみなし たもの ) Baues-Wirsching cohomology , Baues Wirsching より Leech [ Lee75 ] により えられていたようである そこでは , natural system category category of factorizations ばれている そして (co)homology Leech (co)homology ばれている

Pirashvili Redondo [ PR06 ] では , Grothedieck construction Baues-Wirsching コホモロジ する spectral sequence されて いる

また Baues-Wirsching コホモロジ になる complex , ある 2-category 2-functor になることも Muro [ Mur06 ] されている その ホモロジ としては , Pirashvili Waldhausen [ PW92 ] とその での Muro による ある

また , Gálvez-Carrillo, Neumann, Tonks [ GCNT13 ] による もある Thomason natural system という いて されている

  • Thomason (co)homology

その Thomason cohomology いて higher category cohomology Balchin [ Bal ] されている

References

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