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ホモトピー論的な topological monoid の group completion

group completion から monoid できる ようにしたもので , K 理論 である えば , Barratt Priddy [ BP72 ] では “universal group” という , その いて ある

Simplicial monoid しては , その がそのまま できる Group like simplicial monoid しては , group completion weak equivalence になるだろうと いう があ たらしいが , Fiedorowicz [ Fie02 ] により えられて いる

Topological monoid しては , group completion ではうまくいかないの , りに ホモトピ group completion 使 われるようにな Barratt Priddy [ BP72 ] あたりが だろうか K 理論 など によく 使 われる そのため Quillen “On the group completion of a simplicial monoid” という Barratt Priddy いた らく preprint たが , 現在 では Friedlander Mazur [ FM94 ] Appendix されて いる

この Barrat, Priddy, Quillen 3 して ばれている 事実 して

   (       )
     ∐           ∞  ∞    ∞  ∞   0
ΩB     B Σn  ≃ Ω  S   = Ω  Σ  (S )
     n

がある

  • Barratt-Priddy-Quillen theorem

ホモトピ group completion しては , Segal [ Seg74 ] § 4 にまと められている Group completion ( topological version) との については Lima-Filho [ LF93 ] るとよい また McDuff Segal [ MS76 ] では H * BM ) H * ( M ) π 0 ( M ) する localization であることが されて いる McDuff Segal については , この MathOverflow とその Randal-Williams による になる Randal-Williams , その それを [ RW13 ] にしたようである

McDuff Segal としては , Jeremy Miller Palmer [ MP15 ] があ Braun Chuang Lazarev dg algebra derived localization する [ BCL ] でも , McDuff-Segal られている Simplicial monoid であるが

ホモトピ group completion については , Pitsch Scherer [ PS04 ] るとよい

Moi [ Moi ] , monoid anti-homomorphism による involution , ホモトピ group completion 2 -equivariant えて いる

Lawson homology われる topological monoid ホモトピ group completion えるために , Friedlander Gabber [ FG93 ] , monoid monoid tractable という をつけることを えている そし tractable monoid cancellation property つこと , などが されて いる

  • tractable monoid

Gepner Goth Nikolaus [ GGN15 ] , ( , 1)-category での (commutative) monoid object する とみなし , universal property として けて いる

  • ( , 1)-category commutative monoid object group completion

References

[BCL]     Christopher Braun, Joseph Chuang, and Andrey Lazarev. Derived localisation of algebras and modules, arXiv:1505.01146 .

[BP72]     Michael Barratt and Stewart Priddy. On the homology of non-connected monoids and their associated groups. Comment. Math. Helv. , 47:1–14, 1972, http://dx.doi.org/10.1007/BF02566785 .

[FG93]     Eric M. Friedlander and Ofer Gabber. Cycle spaces and intersection theory. In Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991) , pages 325–370. Publish or Perish, Houston, TX, 1993.

[Fie02]     Zbigniew Fiedorowicz. A counterexample to a group completion conjecture of J. C. Moore. Algebr. Geom. Topol. , 2:33–35 (electronic), 2002, http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.33 .

[FM94]     Eric M. Friedlander and Barry Mazur. Filtrations on the homology of algebraic varieties. Mem. Amer. Math. Soc. , 110(529):x+110, 1994, http://dx.doi.org/10.1090/memo/0529 . With an appendix by Daniel Quillen.

[GGN15]     David Gepner, Moritz Groth, and Thomas Nikolaus. Universality of multiplicative infinite loop space machines. Algebr. Geom. Topol. , 15(6):3107–3153, 2015, arXiv:1305.4550 .

[LF93]     Paulo Lima-Filho. Completions and fibrations for topological monoids. Trans. Amer. Math. Soc. , 340(1):127–147, 1993, http://dx.doi.org/10.2307/2154549 .

[Moi]     Kristian Jonsson Moi. Equivariant loops on classifying spaces, arXiv:1303.4528 .

[MP15]     Jeremy Miller and Martin Palmer. A twisted homology fibration criterion and the twisted group-completion theorem. Q. J. Math. , 66(1):265–284, 2015, arXiv:1409.4389 .

[MS76]     D. McDuff and G. Segal. Homology fibrations and the “group-completion” theorem. Invent. Math. , 31(3):279–284, 1975/76, http://dx.doi.org/10.1007/BF01403148 .

[PS04]     Wolfgang Pitsch and Jérôme Scherer. Homology fibrations and “group-completion” revisited. Homology Homotopy Appl. , 6(1):153–166, 2004, arXiv:math/0307339 .

[RW13]     Oscar Randal-Williams. ‘Group-completion’, local coefficient systems and perfection. Q. J. Math. , 64(3):795–803, 2013, http://dx.doi.org/10.1093/qmath/hat024 .

[Seg74]     Graeme Segal. Categories and cohomology theories. Topology , 13:293–312, 1974, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6 .