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ホモトピー的構造を持っ た代数

この タイトル はち いが , では homotopy algebra うことが くそれほど ではない ただ , これを ホモトピ (homotopical algebra) てしまうと のもの にな てしまう でどう えばいいかは ましいところで ある

ここで えるのは , ( ) ホモトピ , より operad どの ホモトピ して された , えば A -algebra などのことである

どういうものかについては , まず Vallette [ Val ] るのがよいように そこでは “homotopical algebra” という 使 われているが Khudaverdyan thesis [ Khu ] Chapter 2 でも にまとめられている なら , しくは Loday Vallette [ LV12 ] るべきだろうが

Vallette では A -algebra , Khudaverdyan thesis では L -algebra として 使 われているように , できるだけ くの れるのがいいと

“Homotopy algebra” “homotopy” という operad 由来 する する operad ていると しやすいだろう

として Hochschild (co)homology などの (co)homology theory えられる Hamilton Lazarev [ HL09 ] るとよい

Twisted tensor product については , M. Miller [ Mil ] えられて いる

Homotopy algebra , つことが Homology され , ホモロジ とよく そのことについて , からは , Hamilton Lazarev [ HL ] くまとま ている 換幾 への つの approach として いてある Kontsevich Soibelman [ KS09 ] , , A -algebra をある vector field formal graded manifold とみなそうという みである

ホモトピ からは , モデル である Hinich [ Hin97 ] では つの レベル モデル されている

  • ある operad のある algebra module
  • ある operad algebra
  • operad

これらは , chain complex (differential graded module) である より symmetric monoidal model category での operad についても , ある モデル られている , Hinich つである , chain complex operad モデル , すぎたよ うで , ている その された [ Hin ] ある

Dolgushev Hoffnung Rogers [ DHR ] , ある dg coaugmented cooperad C cobar construction algebra のことを , type C homotopy algebra んでいる その では [ DR ] された shifted L -algebra symmetric monoidal category による enrichment より type C homotopy algebra ( , 1)-category として されている

  • type C homotopy algebra ( , 1)-category

ホモトピ えば deformation である ( ) たり たりす deformation えるときに , operad 使 うのは アイデア ある

このような , , string theory われるようで , Classical closed string field theory L -structure , open string field theory A -structure つことから , Kajiura Stasheff , open-closed string field theory する として OCHA (open-closed homotopy algebra) [ KS06 ] した

  • OCHA

[ KS08 ] という survey いている Hoefel [ Hoe12 ] OCHA coalgebra coderivation いて わそうとしている また [ Hoe09 ] では Voronov Swiss cheese operad との 調 べている

じく からの アイデア であるが , 率論 homotopy algebra なうことを えているのは , Park らの [ DCPTa DCPTb ] である

  • homotopy probability theory

DGA のように , curved version えられている Nicolas [ Nic08 ] Lazarev Schedler [ LS12 ] など

References

[DCPTa]     Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. Homotopy Probability Theory I, arXiv:1302.3684 .

[DCPTb]     Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. Homotopy Probability Theory II, arXiv:1302.5325 .

[DHR]     Vasily A. Dolgushev, Alexander E. Hoffnung, and Christopher L. Rogers. What do homotopy algebras form?, arXiv:1406.1751 .

[DR]     Vasily A. Dolgushev and Christopher L. Rogers. On an enhancement of the category of shifted L algebras, arXiv:1406.1744 .

[Hin]     Vladimir Hinich. Erratum to ”Homological algebra of homotopy algebras”, arXiv:math/0309453 .

[Hin97]     Vladimir Hinich. Homological algebra of homotopy algebras. Comm. Algebra , 25(10):3291–3323, 1997, arXiv:q-alg/9702015 .

[HL]     Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. Homotopy algebras and noncommutative geometry, arXiv:math/0410621 .

[HL09]     Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. Cohomology theories for homotopy algebras and noncommutative geometry. Algebr. Geom. Topol. , 9(3):1503–1583, 2009, arXiv:0707.3937 .

[Hoe09]     Eduardo Hoefel. OCHA and the swiss-cheese operad. J. Homotopy Relat. Struct. , 4(1):123–151, 2009, arXiv:0710.3546 .

[Hoe12]     Eduardo Hoefel. On the coalgebra description of OCHA. J. Pure Appl. Algebra , 216(3):734–741, 2012, arXiv:math/0607435 .

[Khu]     David Khudaverdyan. Higher Lie and Leibniz algebras, arXiv:1501.01925 .

[KS06]     Hiroshige Kajiura and Jim Stasheff. Homotopy algebras inspired by classical open-closed string field theory. Comm. Math. Phys. , 263(3):553–581, 2006, arXiv:math/0410291 .

[KS08]     Hiroshige Kajiura and Jim Stasheff. Homotopy algebras of open-closed strings. In Groups, homotopy and configuration spaces , volume 13 of Geom. Topol. Monogr. , pages 229–259. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2008, arXiv:hep-th/0606283 .

[KS09]     M. Kontsevich and Y. Soibelman. Notes on A -algebras, A -categories and non-commutative geometry. In Homological mirror symmetry , volume 757 of Lecture Notes in Phys. , pages 153–219. Springer, Berlin, 2009, arXiv:math/0606241 .

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[LV12]     Jean-Louis Loday and Bruno Vallette. Algebraic operads , volume 346 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] . Springer, Heidelberg, 2012, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-30362-3 .

[Mil]     Micah Miller. Homotopy Algebra Structures on Twisted Tensor Products and String Topology Operations, arXiv:1006.2781 .

[Nic08]     Pedro Nicolás. The bar derived category of a curved dg algebra. J. Pure Appl. Algebra , 212(12):2633–2659, 2008, arXiv:math/0702449 .

[Val]     Bruno Vallette. Algebra+Homotopy=Operad, arXiv:1202.3245 .