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球面のホモトピー群

ホモトピ , であるが CW ホモトピ , など ホモトピ 調 べるときには , にな であるが , にどこから をつけてよいのか かりづ らい

まず ホモトピ ホモトピ があるが , ホモトピ その 方法 , どこまで できているかについては , Wang Xu [ WX ] section 2 にまとめられている , その 61 ホモトピ 0 であることを している

ホモトピ について , ておくべき 事実 としては , 以下 のことが げられるだろう

  • Torsion free part , については
                        {
π2n+1+k(S2n+1)⊗ ℚ ~=   ℚ  k = 0
                     0  k ⁄= 0

    , そして については

    ΩS2n1 ≃ S2n-1 ×ΩS4n -1
  [2]   [12]      [12]

    えられる

  • Hopf invariant one , Hopf map η π 3 ( S 2 ), ν π 7 ( S 4 ), σ π 15 ( S 8 ) しかない
  • Cohen-Moore-Neisendorfer exponent theorem , つまり p
    pn{p- torsion part of π*(S2n+1⟨2n+ 1⟩)} = 0

事実 , Serre [ Ser53 ] によるものである Serre C -theory という 理論 Serre spectral sequence いたが , それらを いない Klaus Kreck [ KK04 ] にある

Hopf invariant するときには , EHP sequence として すべきで ある

ホモトピ するのは だろう , ということからか 調 べることも 50 から なわれている James [ Jam57 ] , Toda [ Tod56 ] , そして Cohen Moore Neisendorfer 仕事 ある

Exponet とは として , ホモトピ がどの 0 にならな いか , という えられる Ivanov, Mikhailov, Wu [ IMW ] によると , 以下 のこ とが られている

  • n 4 π n ( S 4 ) 0 (Curtis [ Cur69 ] )
  • n 5 π n ( S 5 ) 0 (Mahowald [ Mah75 Mah82 ] Mori [ Mor75 ] )
  • n 2 π n ( S 2 ) 0, n 3 π n ( S 3 ) 0 (Ivanov, Mikhailov, Wu [ IMW ] )

すると , りは n 6 S n ホモトピ であるが , ホモトピ , それらは 0 になる があることが かる

Hopf invariant one については , Adams [ Ada60 ] secondary operation 使 , そして Adams Atiyah [ AA66 ] K 理論 Adams operation いて した

Adams 研究 Adams spectral sequence という され , ホモトピ では , Adams spectral sequence ホモトピ 調 べるための Unstable Adams spectral sequence ばれるものもあるが , いが stable より しい

ホモトピ とは , えば Freudenthal により についての 研究 であり , 現在 では spectrum 研究 てよいだろう ホモトピ , stable unstable では 調 べる 方法 きく ている

ホモトピ では , Mahowald Ravenel Hopkins どの アイデア により , 80 ホモトピ ( そして ホモトピ ) についていろんなことが てきた それについては , Ravenel [ Rav86 Rav92 ] るのがよいと Goerss [ Goe ] んでまず のもよいだろう

Hopf invariant one ホモトピ についての , Kervaire invariant one , , Hill Hopkins Ravenel [ HHR16 ] によりこのような により (1 つの いて ) れた

そこでは , equivariant stable homotopy theory として 使 われて いる

ホモトピ ておいた がよい いくつか 方法 がある , 以下 方法 があるとよい

Adams スペクトル のためには , Lambda algebra ているとよい Tangora などによる による [ Tan85 ] である

生成 について , それを わす などを つけるという ある

だと 選択 すぎるから わされる でどれぐらいの わされるか えようという アイデア もある Baum [ Bau67 ] , Wood [ Woo68 Woo93 ] , そして Turiel [ Tur ] など

ホモトピ framed cobordism だから , ホモトピ わす framed manifold があるはずである また Lie framed manifold だから , Lie わす ホモトピ かという えら れる

生成 による としては , Wu [ Wu01 ] , Berrick, Cohen, Wong, Wu [ BCWW06 ] がある S 2 のみであるが , ホモトピ 全体 すことができるというのは 画期 なことである Wu のものについては , Ellis Mikhailov [ EM10 ] もある

Loday operad する リスト [ Lod12 ] 最後 , ホモトピ p -component 2 p - 3 α 1 つで 生成 された として すという している もちろん , このときの p だろう もし Loday うように operad として できるとしたら , きで ある

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