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Homotopy Limit と homotopy colimit

での limit colimit ホモトピ がよくない そこで えられ たのが , telescope homotopy pull-back homotopy push-out, より homotopy limit homotopy colimit である Mapping cone (homotopy cofiber) homotopy fiber もその である える homotopy colimit 有用 であることを したのは Borel [ Bor53 ] である

limit colimit では いことは , えてみればわかる えば [ DH01 ] Dwyer , pushout がある

  • colimit ホモトピ ではないが , つの ホモトピ するもの
  • limit ホモトピ ではないが , つの ホモトピ するもの

つの ホモトピ という べる ためには , モデル いるのがよい というより , 現在 ホモトピ では , ホモトピ モデル その めた えるのが ある

もちろん , 使 うためには , そのような 理論 だけでなく simplicial set での ホモトピ ておくべきだろう いたもの (co)simplicial space いたものの 有用 ある

との では , Thomason [ Tho79 ] がある Grothendieck construction てできる , それぞれの てできる homotopy colimit との ある

Simplicial set では , やはり Goerss Jardine [ GJ99 ] だろうか もちろん Bousfield Kan original [ BK72 ] もいい である よく されていて まとま ているので ,

  • simplicial space による hocolim
  • B ( x C ) coequalizer いた hocolim
  • hocolim simplicial space による B ( x C ) による する こと
  • cosimplicial space totalization による holim
  • B ( C x ) equalizer いた holim
  • holim cosimplicial space による B ( x C ) による する こと

また , での ホモトピ , モデル からは えてこない つことを ておくのも である Dugger Isaksen [ DI ] homotopy colimit , cofibrant なしに 不変 つことを している Strøm による モデル [ Str72 ] との とな いる

  • での homotopy colimit 不変

での homotopy limit については , Goodwillie [ Goo92 ] Weiss orthogonal calculus [ Wei95 ] むと イメ がつかめるかもしれ ない

との については , Dotto [ Dot ] 調 べている

での homotopy colimit については , Madsen Weiss Mumford [ MW07 ] appendix である また [ DH01 ] Dwyer りや すい における homotopy (co)limit についてまとめたのは Vogt [ Vog73 ] だと うが

ホモトピ としては , Notbohm [ Not ] にあるように , 調 べたい するための テクニ としての がある Introduction にいくつかの Example がある このことを にした としては Dwyer [ DH01 ] ある

への としては , えば がある poset する homotopy colimit である Salvetti complex やその 被覆 モデル Delucchi [ Del ] いられている Engström [ Eng ] , matroid topological representation いている Engström いているよ うに , このような topological combinatorics する には , Welker Ziegler Živaljević [ WZŽ99 ] Ziegler Živaljević [ ZŽ93 ] るように いて ある

Weiss [ Wei95 ] , orthogonal calculus のために , とする functor homotopy (co)limit いている そのような homotopy (co)limit について れてい るものとしては , やはり orthogonal calculus いている Arone [ Aro09 ] ぐらいだろ うか

  • とする homotopy (co)limit

Bergner [ Ber12 Ber ] model category homotopy limit homotopy colimit えている triangulated category への などへの えている ようである

  • model category homotopy (co)limit

References

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