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無限次元多様体の幾何学とトポロジー

ℝ ( ℂ ) ベクトル ℝ n ( ℂ n ) できるので , だけ えればよか ところが ベクトル 算次 のものでも (norm) るので , ベクトル として えないといけな Banach Hibert であるが , それら にも ベクトル がある つまり モデル とする ベクトル canonical なものが いので ある

については , まず Palais [ Pal66 ] るべきだろう Kriegl Michor [ KM91 KM97 ] もある Lang [ Lan85 ] めて いてある

Palais [ Pal66 ] metrizable manifold について しく 調 べている えば ている

  • Metrizable manifold simplicial complex dominate される
  • M N metrizable manifold のとき ホモトピ f : M -→ N ホモトピ である

Ramras [ Ram ] , , invariant submanifold , invariant tubular neighborhood えている

はあまり くない

  • S である

として なものに , loop めとした がある Pressly Segal loop [ PS86 ] にも いてはある , Stacy [ Stab ] しい Stacey [ Staa ] loop smooth manifold つための えている これらの Stacey によると Kriegel Michor [ KM97 ] らしい Galatius Madsen Tillmann Weiss cobordism category 研究 [ GMTW ] でも されて いる

Loop とも するが , として Grassmann れてはいけない K 理論 はもちろん , KdV など 使 われる Abbondandolo Majer [ AM ] 調 べられている

( 限個 ) configuration space えているのが , Albeverio, Kondratiev, Röckner [ AKR98a AKR98b ] である ただし , なる cardinality のものを せて えているという , どちらかというと Ran space かもしれない

C * -algebra から , Connes noncommutative geometry テクニ 導入 することにより , トポロジ 調 べようというのが Dumitrascu Trout [ DT ] である その Introduction には review あり , それをどのように するか いてある アイデア filtration れて , その C * -algebra direct limit えるとい うものである それにより K -theory ( ) 調 べようというので ある

, から のものも むように するという みも ある

References

[AKR98a]     S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, and M. Röckner. Analysis and geometry on configuration spaces. J. Funct. Anal. , 154(2):444–500, 1998, http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1997.3183 .

[AKR98b]     S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, and M. Röckner. Analysis and geometry on configuration spaces: the Gibbsian case. J. Funct. Anal. , 157(1):242–291, 1998, http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1997.3215 .

[AM]     Alberto Abbondandolo and Pietro Majer. Infinite dimensional Grassmannians, arXiv:math.AT/0307192 .

[DT]     Dorin Dumitrascu and Jody Trout. On C * -algebras and K -theory for infinite-dimensional Fredholm Manifolds, arXiv:math.OA/0411495 .

[GMTW]     Soren Galatius, Ib Madsen, Ulrike Tillmann, and Michael Weiss. The homotopy type of the cobordism category, arXiv:math.AT/0605249 .

[KM91]     Andreas Kriegl and Peter W. Michor. Aspects of the theory of infinite-dimensional manifolds. Differential Geom. Appl. , 1(2):159–176, 1991.

[KM97]     Andreas Kriegl and Peter W. Michor. The convenient setting of global analysis , volume 53 of Mathematical Surveys and Monographs . American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

[Lan85]     Serge Lang. Differential manifolds . Springer-Verlag, New York, 1985.

[Pal66]     Richard S. Palais. Homotopy theory of infinite dimensional manifolds. Topology , 5:1–16, 1966.

[PS86]     Andrew Pressley and Graeme Segal. Loop groups . Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1986.

[Ram]     Daniel A. Ramras. Invariant tubular neighborhoods in infinite-dimensional Riemannian geometry, with applications to Yang-Mills theory, arXiv:1006.0063 .

[Staa]     Andrew Stacey. Constructing Smooth Loop Spaces, arXiv:math.DG/0612096 .

[Stab]     Andrew Stacey. The differential topology of loop spaces, arXiv:math.DG/0510097 .