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2 次以上の morphism が可逆な高次の圏

Lurie [ Lur09 ] のおかげで , にな てきた

かつて , 研究 えていた , bicategory tricategory のように , morphism , それらの up to isomorphism つように められ , にそれらの isomorphism がある coherence condition , というようなものだ Object (0-morphism) morphism (1-morphism) 2-morphism, 3-morphism してい n -morphism まで , それがどのような すべきかが

, Joyal らが , Lurie により にな ( , 1)-category , ての n n -morphism するが , n 2 n -morphism であると れるものである Lurie , -category んでいるが , には ( , 1)-category ぶべきだろう

としては , まず Lurie [ Lur09 ] げるべきだろうが , にも かれている Bergner [ Ber10 ] , Camarena [ AC16 ] , Riehl Verity lecture note [ RVb ] , Hinich lecture note [ Hin ] など

では なものを するのが だから , その では なのは 1-morphism ( ) であり , n -category より , いもので ある

そのような ( , 1)-category model としては , 有名 なのは quasicategory だろ にも , simplicial set enrich された である simplicial category , Segal category, そして complete Segal spaces などがある

これらは , quasicategory model category として であることが られ ている 3 つと quasicategory については , Bergner [ Ber10 ] をみる とよい Camarena ( , 1)-category についての survey [ AC16 ] にもまとめられて いる

simplicial set model category として なので , enrich された である topological category 使 えるのは , えば である えば , Lurie [ Lur09 ] でも する Topological category category model structure モデル との については , Amrani [ Ili15 ] 調 べられている 最後 のものについては , Horel [ Hor15 ] model structure され , model Quillen であることが されて いる

これらを うために , Riehl Verity [ RVa ] -cosmos という 導入 した これは simplicially enriched category である をみたすものとして され その object ( , 1)-category ばれるべきものである のものの -cosmos になる , らしい

  • -cosmos

Lurie , えば , [ Lurc ] ( , 1)-category として sheaf cohomology cohomology ホモトピ としての えている [ Lura ] では , ホモロジ れる ( , 1)-category, つまり chain complex からで きる ( , 1)-category えている chain complex モデ stable model category であり , homotopy category triangulated category であることの として , stable ( , 1)-category homotopy category triangulated category になることを している また Abelian category から derived category として , Abelian category から stable ( , 1)-category (derived ( , 1)-category) ることについても べて いる

また , dg category から ( , 1)-category については Lurie [ Lurb ] , その A - については , Foante [ Fao17 ] 導入 されている

これらのことは , derived algebraic geometry extended quantum field theory など され , くの するところとな ている ( , 1)-category モデル として quasicategory はかなり 有用 なようである

  • stable ( , 1)-category

そして , stable ( , 1)-category 典的 ホモロジ なうというこ とも , しも えることである , triangulated category して された された がどの 程度 stable ( , 1)-category できるか , など

えば , stable ( , 1)-category での t -structure Lurie [ Lura Lurb ] により 導入 されている Fiorenza Loregián [ FL16 FLa ] , stable ( , 1)-category いると , t -structure torsion theory えることを している [ FLb ] では recollement 導入 して いる

より として , Savelyev [ Sava Savb ] などがある

これらの ( , 1)-category モデル けとして , Toën [ Toë05 ] , model category complete Segal space model category Quillen になる ための 7 つの した つまり , これの 7 つの をみたす model category ( , 1)-category category モデル えられるということで ある

( , 1)-category , monoidal structure などの category theory することは , えられている

( , 1)-category , 2 morphism up to homotopy inverse つも のであるが , モデル として , ( n + 1) morphism invertible にし ( ,n )-category えられている

までいかず , また 1 よりも morphism から invertible であるもの , つま ( n + k,k )-category については Rezk [ Rez10 ] えている そこでは Joyal Θ n 使 われている k = 1 n = - 1 のとき , つまり (0 , 1)-category poset とみなすべき もののようである

Simplicial set cubical set にした モデル , Kachour [ Kac ] により えられてい ( ,n )-category モデル 導入 されている

  • cubical weak ( ,n )-category

Simplicial set dendroidal set えることにより , multicategory られている Cisinski Moerdijk [ CM13 ] である -multicategory よりも -operad という なようである

  • dendroidal Segal space
  • dendroidal Segal category

, properad への Hackney, Robertson, Yau [ HRY15 ] により えられて いる

  • -properad

にわたるが , 有名 なのは extended TQFT , derived algebraic geometry , homotopy type theory などだろう 率論 [ Gaua ] トポロジ [ Gaub ] 使 うとしている もいるが , するだろうか

つき ( , 1)-groupoid しようという [ PS ] もいる Sylow などが えられている

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