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(∞,n)-category

のうち , popular なのは , quasicategory などを いた ( , 1)-category だろう

しかし ( , 1)-category には category れている ただけのものである

モデル として , ( ,n )-category, つまり ( n + 1)-morphism invertible にな ているものの モデル えられている えば , Lurie Goodwillie calculus [ Lur ] topological quantum field theory [ Lur09 ] などのために 使 うことを えている としては , Haugseng [ Hau ] による iterated span category がある これも topological quantum field theory したものであ るが

Lurie いているのは , quasicategory ではなく , complete Segal space である

  • higher complete Segal space

Lurie によると , これは Barwick により えられたものらしいが , されていない Lurie [ Lur ] がある Simpson [ Sim Sim12 ] ( ,n )-category model category しようという みである

にも , Joyal Θ n いた Rezk [ Rez10 ] によるものもある

  • Rezk Θ n -space

Haugseng [ Hau18 ] Barwick らの higher Segal space Θ n -space けた

また , Dyckerhoff Kapranov [ DK ] による higher Segal space Hall algebra Hecke algebra などとも あるようで また , algebraic K -theory いられる Waldhausen S -construction unital 2-Segal space つことも されている のことは , Gálvez-Carrillo Kock Tonks [ GCKTb ] ても されている この [ GCKT18 GCKTc GCKTd ] された , Dyckerhoff Kapranov unital 2-Segal space decomposition space んでいる また , への について [ GCKTa ] べている

  • Dyckerhoff Kapranov higher Segal space

Calaque Scheimbaur [ CS ] , ( ,n )-category として n cobordism category するために n -fold complete Segal space いて いる

このような ( ,n )-category モデル について , Toën ( , 1)-category category けを しようというのが , この n -Category Café post されている Barwick Schommer-Pries [ BSP ] である そこ には , その をみたす ( ,n )-category モデル げられてい ( ,n )-category ( , 1)-category についても えられて いる

Schommer-Pries [ SP14 ] , その いているが , そこでは Segal n -category いている

  • Segal n -category

Ara [ Ara14 ] Joyal Θ n いた ( ,n )-category モデル えてい るが , そのために Θ n presheaf category にある model structure , その fibrant object quasi- n -category として うことを して いる

  • quasi- n -category

これら ( ,n )-category としては , Schommer-Pries [ SP14 ] , Bergner [ Ber11 ] がある Bergner Rezk [ BR13 ] では , これらの モデル のい くつかが されている

Bergner Rezk [ BR ] , ( ,n )-category enrich されたものが ( ,n + 1)-category である , という ちそうなことを , べて して いる

これらの model algebraic ではないことを , algebraic model して いるのは , Kachour [ Kac15 ] である

Kachour [ Kac ] cubical set いた モデル 導入 している

  • cubical weak ( ,n )-category

この MathOverflow する Lurie にあるように , ( ,n )-category monoidal structure える 方法 はいくつかある

  • monoidal ( ,n )-category
  • symmetric monoidal ( ,n )-category

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