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多重 monoidal category

monoidal category とは , monoidal structure , それらが coherence condition をみたすものである

Balteanu Fiedorowicz [ BF96 ] された , 2 つの monoidal structure のが だろうか その , らは Schwänzl Vogt [ BFSV03 ] でその している した としては Fiedorowicz Vogt [ FV03 ] ある

これらの での , n -fold monoidal category nerve ると n -fold loop space ができる , ということである

  • small n monoidal category nerve group completion n

これは small monoidal category 1 , braided monoidal category 2 にな ている

より との として , [ BFSV03 ] では , 生成 された free n monoidal category subcategory として , Milgram n モデ する permutohedron から られた とほぼ じものができることが され ていて

  • free n monoidal category

2 monoidal category , “ordered monoid” である つの とし ては max, もう つの monoid である Forcey Siehler Sowers [ FSS07 ] によると , にも から iterated monoidal category とみなせるも のが られるようである Pure braid semiring tropical mathematics など

2 monoidal category braided monoidal category とも

  • braided monoidal category 2 monoidal category なもの

した として Joyal Street [ JS93 ] がある

Forcey Siehler Sowers では , operad monoidal category n monoidal category えた operad えられている めたものが , Aguiar Mahajan [ AM10 ] されている 2 であるが Batanin Markl [ BM12 ] はこの duoidal category んでいる またより n -oidal category えている Booker Street , [ BS13 ] duoidal category めると して いる

  • duoidal category
  • n -oidal category

らによると enriched category monoidal structure えるためには , duoidal category による enrichment えるべきのようである

Vallette [ Val08 ] Manin quadratic algebra して した つの (Manin product) 2 monoidal category での “generator relation されたも している

References

[AM10]     Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Monoidal functors, species and Hopf algebras , volume 29 of CRM Monograph Series . American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. With forewords by Kenneth Brown and Stephen Chase and André Joyal.

[BF96]     C. Balteanu and Z. Fiedorowicz. The coherence theorem for 2-fold monoidal categories. An. Univ. Timi şoara Ser. Mat.-Inform. , 34(1):29–48, 1996.

[BFSV03]     C. Balteanu, Z. Fiedorowicz, R. Schwänzl, and R. Vogt. Iterated monoidal categories. Adv. Math. , 176(2):277–349, 2003, http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00065-3 .

[BM12]     Michael Batanin and Martin Markl. Centers and homotopy centers in enriched monoidal categories. Adv. Math. , 230(4-6):1811–1858, 2012, arXiv:1109.4084 .

[BS13]     Thomas Booker and Ross Street. Tannaka duality and convolution for duoidal categories. Theory Appl. Categ. , 28:No. 6, 166–205, 2013, arXiv:1111.5659 .

[FSS07]     Stefan Forcey, Jacob Siehler, and E. Seth Sowers. Operads in iterated monoidal categories. J. Homotopy Relat. Struct. , 2(1):1–43, 2007, arXiv:math/0411561 .

[FV03]     Z. Fiedorowicz and R. Vogt. Simplicial n -fold monoidal categories model all loop spaces. Cah. Topol. G éom. Diff ér. Cat ég. , 44(2):105–148, 2003.

[JS93]     André Joyal and Ross Street. Braided tensor categories. Adv. Math. , 102(1):20–78, 1993, http://dx.doi.org/10.1006/aima.1993.1055 .

[Val08]     Bruno Vallette. Manin products, Koszul duality, Loday algebras and Deligne conjecture. J. Reine Angew. Math. , 620:105–164, 2008, arXiv:math/0609002 .