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古典的な結び目と絡み目の理論

, けるし トポロジ らしい ので , トポロジ して みようという をつけることが 4 セミナ やりたい という もよく われる しかしながら , にきちんと うのは , それほど ではない Euclid トポロジ がまず しいか らである Rolfsen [ Rol90 ] にはその しく いてあるのでよいと

にも ある Chmutov Duzhin Mostovoy [ CDM ] , Vassiliev finite type invariant であるが , がある 事実 , べてあるだけで はないが , むにはよいかもしれ ない

典的 理論 については arXiv Przytycki による [ Prz ] がある Birman Lorenz knot する survey [ Bir ] にも 研究 がまとめられている

Dror Bar-Natan らが めた Knot Atlas という サイト には れている

には , Reidemeister move という である Reidemeister move づいた するものとして quandle ばれるも のがある

したものとして のようなものがある

Virtual knot とは Kauffman [ Kau99 ] により 導入 された である [ FKM ] virtual knot についての unsolved problem がまとめられている Kauffman virtual braid という えている

むものを , 1 , つまり グラフ えている いる

, もちろん , それ 体大 きな である 不変 いて 研究 されて きた 不変 S 3 での , つまり knot group ある にも 不変 されている

Knot group tangle したのが Armstrong [ Arm ] である Tangle tangle category ばれる small category morphism であるが , Armstrong knot knot group させる となる functor

典的 不変 である Alexander polynomial , 被覆 ていれば できるので , トポロジ としてもいい である アプロ がある , ホモトピ には ,

π1(X ) -→ ℤ

から X -cyclic covering X c , H * ( X c ) [ t,t - 1 ]-module とみたとき , [ t,t - 1 ]-module としての 不変 えるのがよいだろう この アプロ ついてば Rolfsen [ Rol90 ] るとよい この , π 1 ( X ) から への があれば であり , また H * ( X c ) ではなく H * ( X c ) π * ( X c ) えるこ ともできる このような については [ Max ] をみるとよい そこでは hypersurface complement intersection homology との 調 べて いる

  • Alexander module
  • Alexander polynomial

2 のものでは grope というものがある lower central series による filtration がある

  • c class c grope

Grope 2 CW であり , には にはな ていない Cannon により [ Can78 ] 導入 されたらしい Grope としては , Conant Teichner [ CT04 ] なことについては , Freedman Quinn [ FQ90 ] § 2.11 いてある Cochran Orr Teichner [ COT03 ] , knot concordance group grope による filtration して いる

analogy としては , 2 ( ) algebraic curve がある , complement 不変 であるが , やはり になる , これを knot 調 べるというのは アイデア ある まずは , Libgober [ Lib82 Lib83b Lib83a ] とい 仕事 がある Leidy Maxim , [ LM ] higher-order Alexander invariants して いる

3 contact structure れた Legendrian knot (link) というものも えら れている

  • Legendrian embedding
  • Legendrian isotopy
  • Legendrian knot (link)

Chekanov [ Chea Cheb ] Ng [ Ng ] など , 調 べている

, 3 S 3 まれた S 1 えるが , きづけられた × knot on surface 調 べている もいる Turaev [ Tur ] とそこにある をみるとよい より 3 はどれぐらい ているの だろうか については Mroczkowski [ Mro03 Mro04 ] などが ある

References

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[CDM]     S. Chmutov, S. Duzhin, and J. Mostovoy. Introduction to Vassiliev Knot Invariants, arXiv:1103.5628 .

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[Kau99]     Louis H. Kauffman. Virtual knot theory. European J. Combin. , 20(7):663–690, 1999.

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[Lib83a]     A. Libgober. Alexander invariants of plane algebraic curves. In Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981) , volume 40 of Proc. Sympos. Pure Math. , pages 135–143. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983.

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[Mro04]     Maciej Mroczkowski. Polynomial invariants of links in the projective space. Fund. Math. , 184:223–267, 2004, arXiv:math/0312205 .

[Ng]     Lenhard Ng. Rational Symplectic Field Theory for Legendrian knots, arXiv:0806.4598 .

[Prz]     Jozef H. Przytycki. History of Knot Theory, arXiv:math.GT/0703096 .

[Rol90]     Dale Rolfsen. Knots and links , volume 7 of Mathematics Lecture Series . Publish or Perish Inc., Houston, TX, 1990.

[Tur]     Vladimir Turaev. Cobordism of knots on surfaces, arXiv:math.GT/0703055 .