Your language?
Oct, 2018
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31

Limit と colimit

いると , えるようになる その limit colimit である

Limit , かつては 逆極 (inverse limit) とか (projective limit) れていたものである pull-back なども limit である Dwyer Spalinski モデル [ DS95 ] には , かりやすい (co)limit まれて いる

Colimit , かつては (direct limit) などと ばれていたものである push-out なども colimit である

  • (sum) あるいは (coproduct)
  • push-out
  • coequalizer
  • colimit

Limit colimit universal property えられるのが である それを えると adjoint functor になる

  • X , C とする Funct( X , C ) X から C への とし
    Δ : C -→ Funct(X, C )

    constant diagram functor とすると ,

    lim : Funct(X, C) -→ C

    Δ right adjoint functor である また

    colim : Funct(X,C ) - → C

    Δ left adjoint functor である

このことからすぐ かることは 以下 のこと この 事実 , 有用 ある

  • adjoint functor
    F : C ←→  D : G

    F colimit , G limit

    つまり left adjoint colimit , right adjoint limit

Limit らないで , つの object として えることも である これも Grothendieck アイデア なのだろうか SGA4 [ SGA72 ] exposé 1 しく かれて いる ind-object pro-object ばれるものである ホモトピ では pro-object がよく 使 われる

Limit colimit については , よく られているのは filtered colimit finite limit である その としては , Bjerrum, Johnstone, Leinster, Sawin [ BJLS ] などがある

limit colimit じている , にできて 便 ある モデル つにもな ている

  • , object ( morphism ) である とする このとき 一意 まる
    ∅ : ∅ -→ C

    lim ( もし すれば ) C initial object であり , colim C terminal object である

    small limit じている initial object , small colimt じている terminal object

  • small limit colimit じている
  • small limit colimit じている
  • Abel small limit colimit じている

最後 つのことを かめるには , limit colimit であ (co)equalizer する

  • での limit colimit
  • での limit colimit
  • Abel での limit colimit

Abel , より Abel での sequential (co)limit , われる ので , でも しむしかない また sequential limit しては , その derived functor である lim 1 ておく がある

Abelian category での sequential limit lim 1 については , Eilenberg Moore [ EM62 ] むとよいだろう なら [ 75 ] がある Abel での としては Mittag-Leffler condition lim 1 える ことがあるが , これは Abelian category では たない Roos [ Roo61 ] での する Neeman により [ Nee02 ] えられて いる

  • Mittag-Leffler condition

その , Roos [ Roo06 ] Mittag-Leffler condition lim 1 えるためには どのよう かを している

より limit colimit derived functor については , あまり しく たもの がないようである えば , Oliver [ Oli94 ] には limit derived functor するた めの resolution について いてある Bousfield Kan [ BK72 ] ぐらいだろう ていたら , Ivanov Mikhailov [ IM15 ] ホモロジ など 使 うことを えている

derived functor ホモトピ , Bousfield Kan タイトル にもあ ホモトピ である

Colimit じている では , でない morphism えら れる

これは , えば cofibrantly generated model category なる

Small category colimit じた にする (cocompletion をとる ) するため には , presheaf えれば , というのが Day Lack [ DL07 ] ある

enrich されている には , indexed (co)limit いう enrichment れた (co)limit えるべきである Kelly [ Kel05 ] しい

2-category での には があり である Fiore [ Fio06 ] conformal field theory けのために 2-category limit などを えたもので ある

References

[BJLS]     Marie Bjerrum, Peter Johnstone, Tom Leinster, and Will Sawin. Notes on commutation of limits and colimits, arXiv:1409.7860 .

[BK72]     A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations . Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Springer-Verlag, Berlin, 1972.

[DL07]     Brian J. Day and Stephen Lack. Limits of small functors. J. Pure Appl. Algebra , 210(3):651–663, 2007, arXiv:math/0610439 .

[DS95]     W. G. Dwyer and J. Spaliński. Homotopy theories and model categories. In Handbook of algebraic topology , pages 73–126. North-Holland, Amsterdam, 1995.

[EM62]     Samuel Eilenberg and John C. Moore. Limits and spectral sequences. Topology , 1:1–23, 1962.

[Fio06]     Thomas M. Fiore. Pseudo limits, biadjoints, and pseudo algebras: categorical foundations of conformal field theory. Mem. Amer. Math. Soc. , 182(860):x+171, 2006, arXiv:math/0408298 .

[IM15]     Sergei O. Ivanov and Roman Mikhailov. A higher limit approach to homology theories. J. Pure Appl. Algebra , 219(6):1915–1939, 2015, arXiv:1309.4920 .

[Kel05]     G. M. Kelly. Basic concepts of enriched category theory . Number 10. 2005. Reprint of the 1982 original [Cambridge Univ. Press, Cambridge; MR0651714].

[Nee02]     Amnon Neeman. A counterexample to a 1961 “theorem” in homological algebra. Invent. Math. , 148(2):397–420, 2002, http://dx.doi.org/10.1007/s002220100197 . With an appendix by P. Deligne.

[Oli94]     Bob Oliver. Higher limits via Steinberg representations. Comm. Algebra , 22(4):1381–1393, 1994, http://dx.doi.org/10.1080/00927879408824911 .

[Roo61]     Jan-Erik Roos. Sur les foncteurs dérivés de lim
← - . Applications. C. R. Acad. Sci. Paris , 252:3702–3704, 1961.

[Roo06]     Jan-Erik Roos. Derived functors of inverse limits revisited. J. London Math. Soc. (2) , 73(1):65–83, 2006, http://dx.doi.org/10.1112/S0024610705022416 .

[SGA72]     Th éorie des topos et cohomologie étale des sch émas. Tome 1: Th éorie des topos . Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat.

[ 75]     . コホモロジ , volume 4 of . , , 1975.