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Little cube の成す空間や関連した空間

Little cube , Boardman Vogt 導入 したもの [ BV73 ] である , それを いて 理論 させたのは May [ May72 ] ある

May はその C n ( j ) j めたものの して , operad という した Operad , 現在 では トポロジ だけでなく , にな ている

C n ( j ) j して めたものは , operad れても がある combinatorial モデル である それについては にまと めた

まず , として , little cube Euclid configuration space ホモトピ であるということは である このことから little square C 2 ( j ) K ( π, 1) であることが かる

  • C n ( j ) F ( n ,j ) Σ j -equivariant ホモトピ
  • C 2 ( j ) pure braid group 2 ホモトピ えて いる

C 2 ( j ) universal cover braid する とな Fiedorowicz , この E 2 -operad けるものであることを した

  • C 2 ( j ) universal cover には C 2 operad cover するような operad

C 2 ( j ) configuration space F ( ,j ) ホモトピ であるが , F ( ,j ) universal cover については , hyperplane arrangement complement としての 研究 ある Deligne のために , その singular chain complex しく 調 べら れた

モデル いられるものとしては , little cube にも Milgram permutahedron いたもの [ Mil66 ] Segal による configuration space によるもの [ Seg73 ] などがある Little cube とこれら につい ては C. Berger [ Ber96 ] るとよい とも , この フランス ので , Osnabrück なわれた 1998 workshop のまとめ ている C. Berger むのがよいだろう この まとめ には にも 有用 まれていて , operad には しておくべきで ある

には , little disk configuration space Fulton-MacPherson compactification [ FM94 ] として られる little cube ホモトピ ある これは Kontsevich [ Kon99 ] による , little disk formal であることの 使 われている Sinha [ Sin06 ] では , Kontsevich operad ばれて いる

  • Kontsevich operad
  • little disk formal

この Kontsevich formality , Hochschild cochain little disk operad singular cochain complex からできた operad するという Deligne せることにより , deformation quantization formality るためのもので ある

この Deligne のように 調 べる にも little disk (cube) 使 われるようにな てきたのは

この Kontsevich しく いたものとして Lambrechts Volic [ LV14 ] がある らの motivation Goodwillie Weiss みの calculus のようである らは , Kontsevich しく いただけでなく , 3 つの ( ) ている

にも , Tamarkin による formality [ Tam03 ] があり , その quasi-isomorphism Kontsevich quasi-isomorphism , Severa WillWacher [ ŠW11 ] により なわれている

Petersen [ Pet14 ] Grothendieck-Teichmüller group 使 えていて ,

Deligne , little cubes operad chain complex (simplicial module) version いたわけであるが , Lurie -category いて えて , [ Lur ] でその 理論 している

のように ではなく disk 使 もある した とし , disk まれたいくつかの disk configuration space がある Kontsevich のように operad として える , をつけないが , ポロジ では , にした disk configuration space えられて いる Carlsson [ CGKM ] configuration space of hard disks んで いる

  • configuration space of hard disks

disk れることも えられている Alpert [ Alp ] えている この Alpert では , これらの する されている

としては , なりを したものが えられている かつて 修士 てもら たことは , この § 4.4 いてある そこで えられている D n i ( j ) , j n -cube , i n -cube てもよいものである にも , Dobrinska Turchin [ DT15 ] では , disk であるが , k disk わりは にな るものが 調 べられている

  • overlap した cube disk

References

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[BV73]     J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces . Springer-Verlag, Berlin, 1973.

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[May72]     J. P. May. The geometry of iterated loop spaces . Springer-Verlag, Berlin, 1972.

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