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Matroid と oriented matroid の基本

Matroid oriented matroid のどちらから するのがよいのだろうか トポロ した だと hyperplane arrangement のように oriented matroid いものが いような がする

5 oriented matroid [ BLVS + 99 ] では , により oriented matroid について してある Matroid する にも , まず はできるだけ くの かして するのがよい , というこ となのだろう [ BLVS + 99 ] 1 から げると 以下 のようなものが ある

  • quiver (directed graph) oriented circuit から oriented matroid
  • ベクトル configuration から される oriented matroid
  • affine configuration から される oriented matroid
  • hyperplane arrangement から される oriented matroid
  • pseudosphere arrangement oriented matroid

そして , れてから ( ) Oriented matroid には , くつもの なるが なものがあり , それらの どれを 使 うかをよく えないとい けない 5 oriented matroid [ BLVS + 99 ] には 以下 ある また でも Delucchi [ Del11 ] のように しいものが されて いる

  • circuit axioms
  • axioms for dual pairs (orthogonality axioms)
  • painting axioms
  • basis orientation - pivoting property
  • chirotope axioms
  • 3-term Grassmann-Plücker relations
  • vector axioms
  • maximal vector axioms
  • convex closure axioms
  • Lawrence’s axioms
  • da Silva’s axioms
  • covector axioms

えば , その からも 想像 できるように circuit axioms グラフ (quiver) するのがよい からは からないが , real hyperplane arrangement ときには covector axioms 有用 だろう Covector とは real hyperplane arrangement face である

oriented matroid , その がある , というのが Folkman Lawrence topological representation theorem である より には , pseudosphere arrangement として できるのである

  • topological representation theorem [ FL78 ]

Bokowski [ Bok06 ] では , この pseudosphere arrangement による けを sphere system として として いている また にもいくつかの げてある えば 以下 のもの :

Folkman Lawrence oriented ではない matroid しようというのが [ Swa03 ] であり , pseudosphere わりに homotopy sphere 使 ている L. Anderson による homotopy representation theorem [ And12 ] もある Anderson , oriented matroid , Folkman Lawrence topological representation 調 べている ただ , Anderson による explicit ではない Engström [ Eng ] , diagram する homotopy colimit による しい えていて , また codimension 1 だけでない , にな いる

  • matroid homotopy sphere arrangement による
  • oriented matorid homotopy sphere arrangement による

Folkman Lawrence topological representation theorem funcotrial にでき , というのが L. Anderson [ And01 ] である Anderson unoriented version えているのが , Stamps [ Sta ] である そのときの matroid morphism としては , weak map 使 われている oriented matorid としては , strong map ばれるものもある

Unoriented matroid する 然代 なものは のもので ある

  • graph cycle から される unoriented matroid
  • ベクトル 1 次従 あるいや 1 から される unoriented matroid

方法 graph から られる matroid graphic matroid という どのよ うな matroid graphic , という えられるが , これについては Seymour [ Sey81 ] がある これを Geelen [ GGW ] により quasi-graphic matroid という matroid class されている

2 , unoriented matroid だと ベクトル えることがで きる k ベクトル ベクトル 1 される matroid になるものは , k representable であるという 𝔽 2 representable matroid binary matroid という

  • k representable unoriented matroid
  • binary matroid

, えたときの representability について えることもできる えば Pendavingh van Zwam [ PvZb PvZa ] など それによると , 有名 なのは Tutte [ Tut65 ] のようである

げた から かるように , matroid arrangement , hyperplane arrangement する oriented matroid されることが これらは oriented matroid 不変 えてもよいだ ろう

References

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[Tut65]     W. T. Tutte. Lectures on matroids. J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B , 69B:1–47, 1965.