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多様体の minimal triangulation の問題

しては , それを する ( ) ないものは , という えられる Survey としては , Lutz [ Lut ] thesis [ Lut99 ] , Datta [ Dat07 ] などがある 頂点 については Klee Novik survey [ KN16 ] がある

また , 頂点 して , がいくつあるかを えるという ある

Lutz triangulation についての web site しているので , まずはこの web site るのが いかもしれない Lutz thesis なども “Additional Publications” から download できる

頂点 N d としたときに , N < 3 d
2 + 3 なら しかないことを たのは Brehm Kühnel [ BK87 ] である また N = 3 d
2 + 3 なら , d = 2 , 4 , 8 , 16 であることも している この , normed divsion algebra , , , 𝕆 projective plane である そして P 2 P 2 には , 6 頂点 , 9 頂点 がある

  • P 2 6 頂点 P 2 9 頂点 (Banchoff Kühnel [ KB83 ] )

, P 2 PL になりそうな 15 頂点 Brehm Kühnel [ BK92 ] している PL になれば , それが P 2 であるが , Gorodkov [ Gor ] がその したと ている そこで 使 われ ているのは , Pontrjagin であり , Gaiffulin algorithm [ Gaĭ04 ] ある

Chapoton Manivel [ CM13 ] によると , projective plane すらないようである

についても , により 調 べられている 有名 なのは である

  • P n (n+1)(n+2)
    2 頂点 であり , n > 2 なら (n+1)(n+2)
    2 + 1 (Arnoux Marin [ AM91 ] )
  • P n ( n +1) 2 頂点 であり , n > 2 なら ( n +1) 2 +1 ( じく Arnoux Marin [ AM91 ] )

, からの としては , のものがある

  • P 3 11 頂点 (Walkup [ Wal70 ] )
  • P 4 16 頂点 (Balagopalan [ Bal17 ] )
  • P 5 24 頂点 ( Lutz )

, P 3 P 4 vertex minimal triangulation つか ていること になる P 5 , 22 頂点 のものがあるかどうかは , まだ ていないようで ある

P 4 16 頂点 , すなわち 頂点 , Lutz よる されていたが , Balagopalan [ Bal17 ] した

P n しい P 2 Banchoff Kühnel vertex minimal triangulation Sarkar [ Sar ] かれているのは 以下 である

  • P 3 18 頂点 (Baguchi Datta [ BD12 ] )

, Ziegler [ Zie08 ] がある 3 , えば [ Lut08 ] 頂点 10 3 なわれている S 1 S k -bundle えている もいる Chestnut Sapir Swartz [ CSS08 ] であ Minimal balanced triangulation については , Zheng [ Zhe16 ] えて いる Introduction , るのに

Björner Lutz [ BL00 ] , により vertex minimal triangulation つける うことを えている

KP hierarchy との について , Goulden Jackson [ GJ08 ] 最後 いてある

えられた ホモトピ 頂点 なもの , という えられている Borghini Minian [ BM ] によると , これは Karoubi Weibel [ KW ] 導入 した , covering type という 不変 して いる

, できるだけ 頂点 ない とし すことも えられている Madahar Sarkaria [ MS00 ] では , Hopf map η : S 3 S 2 , 12 頂点 S 3 から 4 頂点 S 2 への として されて いる その として , 9 頂点 P 2 られている また , Gohla [ Goh ] , η object 10 acyclic category から objet 4 acyclic category への functor として している

References

[AM91]     Pierre Arnoux and Alexis Marin. The Kühnel triangulation of the complex projective plane from the view point of complex crystallography. II. Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A , 45(2):167–244, 1991, http://dx.doi.org/10.2206/kyushumfs.45.167 .

[Bal17]     Sonia Balagopalan. On a vertex-minimal triangulation of P 4 . Electron. J. Combin. , 24(1):Paper 1.52, 23, 2017, arXiv:1409.6149 .

[BD12]     Bhaskar Bagchi and Basudeb Datta. A triangulation of P 3 as symmetric cube of S 2 . Discrete Comput. Geom. , 48(2):310–329, 2012, arXiv:1012.3235 .

[BK87]     U. Brehm and W. Kühnel. Combinatorial manifolds with few vertices. Topology , 26(4):465–473, 1987, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(87)90042-5 .

[BK92]     Ulrich Brehm and Wolfgang Kühnel. 15-vertex triangulations of an 8-manifold. Math. Ann. , 294(1):167–193, 1992, http://dx.doi.org/10.1007/BF01934320 .

[BL00]     Anders Björner and Frank H. Lutz. Simplicial manifolds, bistellar flips and a 16-vertex triangulation of the Poincaré homology 3-sphere. Experiment. Math. , 9(2):275–289, 2000, http://projecteuclid.org/euclid.em/1045952351 .

[BM]     Eugenio Borghini and Elias Gabriel Minian. The covering type of closed surfaces and minimal triangulations, arXiv:1712.02833 .

[CM13]     F. Chapoton and L. Manivel. Triangulations and Severi varieties. Exp. Math. , 22(1):60–73, 2013, arXiv:1109.6490 .

[CSS08]     Jacob Chestnut, Jenya Sapir, and Ed Swartz. Enumerative properties of triangulations of spherical bundles over S 1 . European J. Combin. , 29(3):662–671, 2008, arXiv:math/0611039 .

[Dat07]     Basudeb Datta. Minimal triangulations of manifolds. J. Indian Inst. Sci. , 87(4):429–449, 2007, arXiv:math/0701735 .

[Gaĭ04]     A. A. Gaĭfullin. Local formulas for combinatorial Pontryagin classes. Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. , 68(5):13–66, 2004, arXiv:math/0407035 .

[GJ08]     I. P. Goulden and D. M. Jackson. The KP hierarchy, branched covers, and triangulations. Adv. Math. , 219(3):932–951, 2008, arXiv:0803.3980 .

[Goh]     Björn Gohla. A Categorical Model for the Hopf Fibration, arXiv:1804.07857 .

[Gor]     Denis Gorodkov. A 15-vertex triangulation of the quaternionic projective plane, arXiv:1603.05541 .

[KB83]     W. Kühnel and T. F. Banchoff. The 9-vertex complex projective plane. Math. Intelligencer , 5(3):11–22, 1983, http://dx.doi.org/10.1007/BF03026567 .

[KN16]     Steven Klee and Isabella Novik. Face enumeration on simplicial complexes. In Recent trends in combinatorics , volume 159 of IMA Vol. Math. Appl. , pages 653–686. Springer, [Cham], 2016, arXiv:1505.06380 .

[KW]     Max Karoubi and Charles Weibel. On the covering type of a space, arXiv:1612.00532 .

[Lut]     Frank H. Lutz. Triangulated Manifolds with Few Vertices: Combinatorial Manifolds, arXiv:math/0506372 .

[Lut99]     Frank Hagen Lutz. Triangulated manifolds with few vertices and vertex-transitive group actions . Berichte aus der Mathematik. [Reports from Mathematics]. Verlag Shaker, Aachen, 1999. Dissertation, Technischen Universität Berlin, Berlin, 1999.

[Lut08]     Frank H. Lutz. Combinatorial 3-manifolds with 10 vertices. Beitr äge Algebra Geom. , 49(1):97–106, 2008, arXiv:math/0604018 .

[MS00]     K. V. Madahar and K. S. Sarkaria. A minimal triangulation of the Hopf map and its application. Geom. Dedicata , 82(1-3):105–114, 2000.

[Sar]     Soumen Sarkar. Some 3 n -equivariant triangulations of P n , arXiv:1405.2568 .

[Wal70]     David W. Walkup. The lower bound conjecture for 3- and 4-manifolds. Acta Math. , 125:75–107, 1970, https://doi.org/10.1007/BF02392331 .

[Zhe16]     Hailun Zheng. Minimal balanced triangulations of sphere bundles over the circle. SIAM J. Discrete Math. , 30(2):1259–1268, 2016, arXiv:1505.05598 .

[Zie08]     Günter M. Ziegler. Polyhedral surfaces of high genus. In Discrete differential geometry , volume 38 of Oberwolfach Semin. , pages 191–213. Birkhäuser, Basel, 2008, arXiv:math/0412093 .