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Chain complex の圏のモデル構造

Abelian category (bounded below あるは unbounded) chain complex (differentialgraded module) , モデル つである

まずは , Hovey [ Hov99 ] モデル しておくべきだ ろう

  • projective model structure
  • injective model structure

この つの model structure , injective model structure Abelian category するが , ながら monoidal model category にならない また injective resolution しか たないような には projective model structure 使 えな そこで Gillespie えたのが flat model structure である

これら 三種 model structure , quasi-isomorphism weak equivalence であ では , ホモトピ weak equivalence とする Quillen model structure にも , ホモトピ weak equivalence とする Strøm model structure がある Chain complex , chain homotopy equivalence weak equivalence とする model structure があると えるは である , Golasinski Gromadzki [ GG82 ] Schwänzl Vogt [ SV02 ] § 4.6 ある

  • chain homotopy equivalence weak equivalence とする model structure

にも , Holstein [ Pér ] により された model structure がある Projective model structure では , cokernel projective である trivial cofibration とする , それを cokernel projective dimension n 以下 , というふうに したもので ある

, sheaf について 調 べた がある

  • ringed space sheaf ( より Grothendieck category) chain complex model structure [ Hov01 Gil06 Gil ]
  • ringed site presheaf chain complex model structure [ Fau ]

このように , chain complex category model structure できると , その homotopy category えることができるが , それは , ホモロジ された derived category する Christensen Hovey [ CH02 ] によると , このように derived category model category homotopy category とみなすことによる , “Hom set” であることを できること , そして cofibrant replacement fibrant replacement として resolution され , derived functor られるこ とである

, “Hom set” であることについては , のように ている :

This is not the case in general, and much work on derived categories ignores this possibility.

ただ , このような derived category にな ている category すという アイデ , にも , dg category A -category, そして stable ( , 1)-category いて されている いわゆる enhanced triangulated category である

Christensen Hovey , projective class してできるより derived category , model category homotopy category として できることを して いる

  • projective class
  • projective class した Abelian category での chain complex category model structure

Pérez [ Pér ] projective dimension n である object づいた n -projective model structure という model structure している

N > 2 N d N = 0 chain complex である N -complex しても model structure されている Quillen-type のものは , Gillespie Hovey [ GH10 ] , Strøm-type のものは Gillespie [ Gil15 ] えられて いる

Filtered chain complex model structure については , Di Natale [ Nat ] ある

ホモトピ などの からは , chain complex まらず , DGA module てくる そして DGA module については , よく られている より , 換環 DGA module については , Barthel May Riehl [ BMR14 ] 6 つの model structure 調 べて いる

Double complex category model structure については , なことに , あま えられてこなか たようである Muro Roitzheim [ MR ] では , total model structure Cartan-Eilenberg model structure 2 つの model structure され ている

References

[BMR14]     Tobias Barthel, J. P. May, and Emily Riehl. Six model structures for DG-modules over DGAs: model category theory in homological action. New York J. Math. , 20:1077–1159, 2014, arXiv:1310.1159 .

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[GG82]     Marek Golasiński and Grzegorz Gromadzki. The homotopy category of chain complexes is a homotopy category. Colloq. Math. , 47(2):173–178 (1983), 1982.

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