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高次の圏での monoidal structure

での monoidal である Kapranov Voevodsky [ KV94 ] monoidal 2-category があるが , その だけで 12 使 てい その , Day Street [ DS97 ] たが , そこにあるように strict して Gray-monoid として うのが である

  • monoidal 2-category あるいは monoidal bicategory
  • Gray-monoid

Monoidal bicategory Gordon Power Street [ GPS95 ] tricategory object 1 つのものと えることができる Gray-monoid monoidal bicategory モデル とみなすのは , この づいている その , monoidal tricategory object 1 つの tetracategory とみなすべきだろう これにつ いては , Hoffnung [ Hof ] tetracategory めて しく かれて いる

Monoidal bicategory , トポロジ でも 使 われるようにな てき えば symmetric monoidal category infinite loop space との symmetric monoidal bicategory したものとして , Osorno [ Oso12 ] ある

  • symmetric monoidal bicategory

Symmetric monoidal bicategory なる monoidal bicategory より である Monoidal bicategory めて , Schommer-Pries thesis [ SP09 ] にまとめら ているので , まずはこれに すべきだろう

そこでは , quasistrict symmetric monoidal bicategory という strict 導入 されて いる

  • quasistrict symmetric monoidal bicategory

その wired diagram という いて , symmetric monoidal bicategory quasistrict なものに である , という Schommer-Pries したものとして Bartlett [ Bar ] がある

, monoidal category object 1 つの bicategory , つまり bicategory monoidal category “many objects” であることから , symmetric monoidal category “many objects” えられている May Sigurdsson [ MS06 ] Chapter 16 symmetric bicategory として されている

  • symmetric bicategory

Symmetric monoidal bicategory しそうな であるが

( , 1)-category での monoidal structure については , Lurie えている [ Lurb ] にも いてあるが , とりあえず , [ Lura ] るのがよいと アイデ , May Thomason [ MT78 ] 導入 した monoidal category ( V , , 1) opfibration (cofibered category) p : V Δ op , ある をみたすものを いるものである この V category of operations ばれて いる

  • monoidal ( , 1)-category
  • symmetric monoidal ( , 1)-category

この V , multicategory する とみなすのが である May Thomason , monoidal category multicategory とみなし , それに する category of operations ているのである Lurie multicategory ではなく , -operad んでいるが

Monoidal bicategory では , monoidal category での monoid object するもの strict するのは であり , それを 2-morphism めた えられている Chikhladze Lack Street [ CLS10 ] では monoidale ばれて いる

  • monoidale

Small category monoidal bicategory での monoidale (small) monoidal category なので , monoidale monoidal category えることがで きる

Monoidale skew-monoidal category である skew-monoidale , Lack Street [ LS12 ] により 導入 された

  • skew-monoidale

References

[Bar]     Bruce Bartlett. Quasistrict symmetric monoidal 2-categories via wire diagrams, arXiv:1409.2148 .

[CLS10]     Dimitri Chikhladze, Stephen Lack, and Ross Street. Hopf monoidal comonads. Theory Appl. Categ. , 24:No. 19, 554–563, 2010, arXiv:1002.1122 .

[DS97]     Brian Day and Ross Street. Monoidal bicategories and Hopf algebroids. Adv. Math. , 129(1):99–157, 1997, http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1649 .

[GPS95]     R. Gordon, A. J. Power, and Ross Street. Coherence for tricategories. Mem. Amer. Math. Soc. , 117(558):vi+81, 1995, http://dx.doi.org/10.1090/memo/0558 .

[Hof]     Alexander E. Hoffnung. Spans in 2-Categories: A monoidal tricategory, arXiv:1112.0560 .

[KV94]     M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. 2-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations. In Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991) , volume 56 of Proc. Sympos. Pure Math. , pages 177–259. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

[LS12]     Stephen Lack and Ross Street. Skew monoidales, skew warpings and quantum categories. Theory Appl. Categ. , 26:No. 15, 385–402, 2012, arXiv:1205.0074 .

[Lura]     Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry III: Commutative Algebra, arXiv:math/0703204 .

[Lurb]     Jacob Lurie. Higher Algebra, http://www.math.harvard.edu/ ~ lurie/papers/HA.pdf .

[MS06]     J. P. May and J. Sigurdsson. Parametrized homotopy theory , volume 132 of Mathematical Surveys and Monographs . American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, http://dx.doi.org/10.1090/surv/132 .

[MT78]     J. P. May and R. Thomason. The uniqueness of infinite loop space machines. Topology , 17(3):205–224, 1978, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90026-5 .

[Oso12]     Angélica M. Osorno. Spectra associated to symmetric monoidal bicategories. Algebr. Geom. Topol. , 12(1):307–342, 2012, arXiv:1005.2227 .

[SP09]     Christopher John Schommer-Pries. The classification of two-dimensional extended topological field theories . ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, arXiv:1112.1000 . Thesis (Ph.D.)–University of California, Berkeley.