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Monoidal model category

など , トポロジ モデル closed symmetric monoidal category にな ていることが そこで , 導入 されたのが monoidal model category という である

Lewis Mandell [ LM07 ] によると , monoidal model category 研究 Schwede Shipley [ SS00 ] から たそうである とも , monoidal model category では , Schwänzl Vogt による [ SV91 ] ある

Schwede Shipley , cofibration monoidal structure, そして trivial cofibration monoidal structure する のみ している その pushout-product axiom ばれている

  • pushout-product axiom

Fibration については えなくてもいいのか , というのは であるが , model category では cofibration trivial cofibration から lifting により fibration まるの , cofibration trivial cofibration する だけでよいはずである Fibration する こうとすると “mapping space” するもの 使 cofibration fibration する がある Cartesian closed である がある その えば , Lewis Mandell [ LM07 ] ある

Schwede Shipley でもう けているのは unit する である Hovey [ Hov99 ] Chapter 4 monoidal model category てられているが , そこでは unit についての されている Lewis Mandell もそれ ている J.E. Harper [ Har10 ] unit する していな いが

Lewis Mandell [ LM07 ] monoidal model category enrich された model category についても えている また , Berger Moerdijk [ BM13 ] monoidal model category enrich された small category category model structure について 調 ている

Monoidal category するものとして , monoid object とその module, operad やその algebra module がある これら model structure についても 調 べられている Schwede Shipley monoidal model category での monoid object えるために , monoid axiom という えて いる

  • monoid axiom

Monoidal model category operad algebra module model structure について , 調 べたのは Harper [ Har10 ] であるが , そこでも monoid axiom されている

Monoidal model category での operad localization については , Casacuberta らが [ CGMV10 ] 調 べている

Shoikhet [ Sho ] , lax oplax monoidal functor うために , bialgebra axiom 導入 した

Monoidal model category enrich された category category には , model structure ることが されるが , それについては Berger Moerdijk [ BM13 ] えている

Monoidal model category V morphism object とする category Mor( V ) “pushout-product” により monoidal category になるが , White Yau [ WY ] projective model structure により monoidal model category になることを している これは Hovey [ Hov ] cofibrantly generated であることを して したことの である

References

[BM13]     Clemens Berger and Ieke Moerdijk. On the homotopy theory of enriched categories. Q. J. Math. , 64(3):805–846, 2013, arXiv:1201.2134 .

[CGMV10]     Carles Casacuberta, Javier J. Gutiérrez, Ieke Moerdijk, and Rainer M. Vogt. Localization of algebras over coloured operads. Proc. Lond. Math. Soc. (3) , 101(1):105–136, 2010, arXiv:0806.3983 .

[Har10]     John E. Harper. Homotopy theory of modules over operads and non-Σ operads in monoidal model categories. J. Pure Appl. Algebra , 214(8):1407–1434, 2010, arXiv:0801.0191 .

[Hov]     Mark Hovey. Smith ideals of structured ring spectra, arXiv:1401.2850 .

[Hov99]     Mark Hovey. Model categories , volume 63 of Mathematical Surveys and Monographs . American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

[LM07]     L. Gaunce Lewis, Jr. and Michael A. Mandell. Modules in monoidal model categories. J. Pure Appl. Algebra , 210(2):395–421, 2007, arXiv:math/0606275 .

[Sho]     Boris Shoikhet. A bialgebra axiom and the Dold-Kan correspondence, arXiv:1109.5441 .

[SS00]     Stefan Schwede and Brooke E. Shipley. Algebras and modules in monoidal model categories. Proc. London Math. Soc. (3) , 80(2):491–511, 2000, arXiv:math/9801082 .

[SV91]     R. Schwänzl and R. M. Vogt. The categories of A - and E -monoids and ring spaces as closed simplicial and topological model categories. Arch. Math. (Basel) , 56(4):405–411, 1991, http://dx.doi.org/10.1007/BF01198229 .

[WY]     David White and Donald Yau. Arrow Categories of Monoidal Model Categories, arXiv:1703.05359 .