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Motivic homotopy theory

トポロジ した なわれてきたことは , くの がついていた えば , Poincaré ホモロジ アイデア する 方法 として , では algebraic cycle 理論 , では singular homology されてきた そし , その ハイブリ のような 理論 として , Lawson homology のようなものも れた

, より として scheme ホモトピ することも されてきた それを する つの 方法 として , Voevodsky 仕事 がある としては , 以下 のものがある :

  • Morel Voevodsky [ MV99 ] となる である その [ Mor12 ] であると Morel いている ただ , これらをいきなり める のは がある
  • まず , Voevodsky による ICM 1998 での [ Voe98 ] がある それによると , Suslin との singular homology [ SV96 ] ができたので , その イデア がうまくいくと したようである
  • Voevodsky アイデア をまとめたものとしては Princeton から ている [ VSF00 ] があるが , それよりも Clay から ている Voevodsky lecture note ( Mazza Weibel がまとめたもの ) [ MVW06 ] みやすい
  • トポロジ との としては , Levine [ Lev08b ] がある
  • Panin Pimenov Röndigs [ PPR09b ] Appendix とな ていて , motivic homotopy theory してある
  • Asok による website もある
  • Beilinson Vologodsky [ BV08 ] , dg category 使 している
  • Borghesi [ Bor07 ] での をまとめたものである

Motivic homotopy theory とは motif ( では motive) ホモトピ という であり , motif とは Grothendieck とな した での cohomology theory となるようなもののことであ Grothendieck Abelian category として することを えていた ようであるが , トポロジ したことがある なら , generalized cohomology theory とな ているのが stable homotopy category という triangulated category であることから , triangulated category として しようと えるのが うだろう , stable homotopy category Abelian category derived category にはな ていない triangulated category なの , Abelian category ぜずに triangulated category すべ きである その 方法 としては , 然代 トポロジ での stable homotopy category すべきだろう そしてそれに したのが Voevodsky

もちろん , Grothendieck アイデア する 方法 には , これ にもあるかもしれ ない Voevodsky ( Morel) した category では , ホモトピ [0 , 1] affine line 𝔸 1 しているので , 𝔸 1 -homotopy theory ぶのが だろう その としては , Dugger による smooth scheme category から 生成 される hrefgenerating˙model˙structure.htmluniversal model category としての [ Dug01 ] もある

その motivation から , まず なのは cohomology theory がその できることである Algebraic K -theory できる

Motivic cohomology については , Voevodsky lecture note Weibel から download できる それを する Eilenberg-Mac Lane spectrum [ Voe98 ] されている Röndigs Østvær [ RØ08 ] , その module category について 調 べている それにより mixed Tate motive category ホモトピ としての ている

  • motivic Eilenberg-Mac Lane spectrum

Voevodsky 理論 では , コホモロジ , complex cobordism MGL えられることから , Adams [ Ada74 ] されている Poincaré duality などを しようというのは , アイデア である それを したのが Panin Yagunov [ PY08 ] である Panin 研究 , complex cobordism えている Complex oriented cohomology theory universal であるという については [ PPR08 ] , Conner-Floyd については [ PPR09a ] でその している Naumann Østvær Spitzweck [ NSØ09b NSØ09a ] では , Landweber exact functor theorem えられて いる

  • motivic Landweber exact functor theorem

MGL いて される ホモロジ , “scheme cobordism” いて うというのは , アイデア である それが Levine Morel algebraic cobordism [ LM01a LM01b ] である としては , Levin ICM 2002 での [ Lev02 ] がある Levine Pandharipande [ LP09 ] では , 方法 られている

Zainoulline [ Zai10 ] によると , Rost degree formula , Levine Morel により algebraic cobordism 導入 により られた Zainoulline , その degree formula から connective K -theory する degree formula , imcompressibility する ている Connective K -theory のように , トポロジ でしか 使 えなか 使 えるようになるというのは , 画期 ある

Algebraic cobordism での pullback えるときに smooth scheme だけでは わないので , derived scheme えることを しているのは , Lowrey Schürg [ LS16 ] である

Algebraic cobordism étale topological version えているのが Quick [ Qui ] である えば , étale cohomology から する Atiyah-Hirzebruch spectral sequence されている

Algebraic cobordism equivariant Heller Malagón-López [ HML13 ] により 導入 された

  • equivariant algebraic cobordism

Scheme K -theory については , Voevodsky 仕事 Quillen により され ていた コホモロジ については , Gillet Soulé [ GS99 ] によるも のがあり , その algebraic K -theory コホモロジ にな ている Feliu [ Fel11 ] Chern character などを , Gillet Soulé ホモロジ natural transformation として しようという みで ある

Chern character えば Atiyah-Hirzebruch spectral sequence であるが , Chow group びつける Atiyah-Hirzebruch spectral sequence られて いる

Algebraic vector bundle Grassmann による については , Morel [ Mor12 ] われている

Atiyah-Hirzebruch spectral sequence トポロジ するときは , CW skeletal filtration cohomology theory apply してできる exact couple からで きる spectral sequence として するのが であるが , その での とし , Levine [ Lev08a ] homotopy coniveau tower という 導入 して いる

Dugger Isaksen [ DI05b ] cell structure えている

Tubular neighborhood については , Levine [ Lev07 ] ると よい

トポロジ での complex oriented cohomology theory については oriented cohomology theory という 導入 されている Panin Smirnov により , K-theory Preprint Archives preprint [ PS Pan ] がある Panin [ Pan03 Pan09 ] もある Equivariant については , Calmès Zainoulline Zhong [ CZZ15 ] るとよい

  • oriented cohomology theory
  • equivariant oriented cohomology theory

このような stable homotopy theory だけでなく , unstable homotopy theory えるべきである , Asok Wickelgren Williams [ AWW ] James construction 導入 , それを いて EHP sequence えている それ えた [ WW ] もあるが

  • unstable 𝔸 1 -homotopy theory

Motivic homotopy theory としては , Dugger Isaksen sums of squares への [ DI07 DI05a DI08 ] がある

Holmstrom Scholbach [ HS15 ] , motivic cohomology Arakerov えて いる

によ えられている Hoyois [ Hoy17 ] によると , えたのはやはり Voevodsky らしい ただし , Voevodsky いたものではなく , Deligne [ Del09 ] されている

  • equivariant motivic homotopy theory

その , により 研究 されている Deshpande [ Des ] equivariant algebraic cobordism , Heller, Voineagu, Østvær [ HVØ15 ] Bredon cohomology theory 導入 している より ホモトピ には Herrmann [ Her ] model structure 導入 して G -equivariant motivic (stable unstable) homotopy category 調 べている Hu Kriz Ormsby [ HKO11 ] , Carlsson Joshua [ CJ ] , そして Heller Krishna Østvær [ HKØ15 ] ある

Hoyois [ Hoy17 ] , stable equivariant motivic homotopy theory Grothendieck six operations えている

換環 りに commutative ring spectrum いた “spectral Khan [ Kha ] により されている Cisinski Khan による [ CK ] では , Morel-Voevodsky 理論 であることが されている

Friedlander-Walker [ FW01 ] での semi-topological version Krishna Park [ KP15 ] えられている

については , Robalo [ Roba Robb Rob15 ] などがある Robalo ( , 1)-category みを 使 ている その Morel-Voevodsky motivic stable homotopy category ( , 1)-category version えている そし , その symmetric monoidal ( , 1)-category としての けも えて いる

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