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Orbifold のホモトピー論

Orbifold ホモトピ としては , groupoid からはその モトピ するのが さそうに える

しかしながら , その げかけているのが Leida [ Lei ] である Equivariant homotopy theory から , stable orbifold homotopy group, そして extended unstable orbifold homotopy group している

  • stable orbifold homotopy group
  • extended unstable orbifold homotopy group

不変 としては , Lusternik-Schnirelmann category [ Col10 ] えられて いる

Orbifold した orbispace という もある Henriques [ Hen ] による Haefliger により 導入 された [ Hae84 Hae91 ] らしい ただし , によ てその である

W. Chen , [ Che ] えその ホモトピ 調 べている その [ Che06 ] らしい Kontsevich [ Kon95 ] Mondello [ Mon08 ] にも にまとめられたものがある Chen [ Che06 ] , いたもの である しかしながら , つの orbispace morphims orbispace るという , である Kontsevich Mondello のものは ではあるが , この Chen orbispace のだろうか よく からない この のことは , んと する ある Henrques Gepner による [ HG ] もある しいのは , Coufal, Pronk, Rovi, Scull, Thatcher による [ CPR + ] であり , “accessible introduction to the theory of orbispaces via groupoids” しているよう なので , まずはこれを んでみるとよいかもしれない からの プロ としては , Schwede preprint がある EKMM spectrum 使 われた linear isometries operad いている Körschgen [ Kör ] Gepner-Henriques のものと Schwede のものを , には であることを ている

Chen , [ Che ] では orbispace からその “loop space” , その “loop space” ホモトピ いて している より orbispace もあるはずであ より には , orbispace モデル -category , その 調 べる べきだろう Orbifold cohomology などは , その representable functor として できないだろうか Colman 1-homotopy type [ Col11 ] ヒント になるかもしれ ない

  • Colman Lie groupoid 1-homotopy type

Orbifold groupoid わせるように , orbispace topological stack いて わすのがよい それを いて , orbispace T -duality について 調 べたのは Bunke Schick [ BS06 ] である この には orbispace topological stack ある また orbispace twisted cohomology いてある らは Spitzweck [ BSS08 ] , orbifold cohomology いる inertia stack などは , topological stack えるべき だと ている えば , topological stack inertia stack topological stack になることを して いる

Lupercio Uribe loop groupoid としては , Noohi [ Noo10 ] topological stack mapping stack がある Roberts Vozzo [ RV ] differentiable stack smooth loop stack について 調 べている

Stack bicategory すことから , model category しようと える のではなく , bicategory model structure のようなものを しようと える 有望 かもしれない その では , Pronk Warren [ PW14 ] Tommasini [ Tom16 ] がある

References

[BS06]     Ulrich Bunke and Thomas Schick. T -duality for non-free circle actions. In Analysis, geometry and topology of elliptic operators , pages 429–466. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, arXiv:math/0508550 .

[BSS08]     Ulrich Bunke, Thomas Schick, and Markus Spitzweck. Inertia and delocalized twisted cohomology. Homology, Homotopy Appl. , 10(1):129–180, 2008, arXiv:math/0609576 .

[Che]     Weimin Chen. A Homotopy Theory of Orbispaces, arXiv:math/0102020 .

[Che06]     Weimin Chen. On a notion of maps between orbifolds. I. Function spaces. Commun. Contemp. Math. , 8(5):569–620, 2006, arXiv:math/0603671 .

[Col10]     Hellen Colman. The Lusternik-Schnirelmann category of a Lie groupoid. Trans. Amer. Math. Soc. , 362(10):5529–5567, 2010, arXiv:0908.3325 .

[Col11]     Hellen Colman. On the 1-homotopy type of Lie groupoids. Appl. Categ. Structures , 19(1):393–423, 2011, arXiv:math/0612257 .

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[Hae84]     André Haefliger. Groupoïdes d’holonomie et classifiants. Ast érisque , (116):70–97, 1984. Transversal structure of foliations (Toulouse, 1982).

[Hae91]     André Haefliger. Complexes of groups and orbihedra. In Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) , pages 504–540. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1991.

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[Kon95]     Maxim Kontsevich. Enumeration of rational curves via torus actions. In The moduli space of curves (Texel Island, 1994) , volume 129 of Progr. Math. , pages 335–368. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995, arXiv:hep-th/9405035 .

[Kör]     Alexander Körschgen. A Comparison of two Models of Orbispaces, arXiv:1612.04267 .

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[Mon08]     Gabriele Mondello. A remark on the homotopical dimension of some moduli spaces of stable Riemann surfaces. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) , 10(1):231–241, 2008, arXiv:math/0602111 .

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[Tom16]     Matteo Tommasini. A bicategory of reduced orbifolds from the point of view of differential geometry. J. Geom. Phys. , 108:117–137, 2016, arXiv:1304.6959 .