Your language?
Nov, 2017
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30

古典的な (コ) ホモロジーに関する基本的な定義と性質

まずは , ホモロジ についての Poincaré アイデア [ 96 ] すべきであ

  • Poincaré homologous
  • Poincaré Betti

いたいところであるが , これはある 程度 ホモロジ んでからの がよいだろ まず , やはり , しておくのがよい

alternating sum として , Euler されるが , これが Betti alternating sum しいことを ると , モロジ すものであることに 納得 できるかもしれ ない

  • Betti
  • した Euler Betti alternating sum した Euler すること

いに れたら ホモロジ するのはそれほど しくはないはずで ある

  • Singular chain complex による ホモロジ (singular homology)
  • f : X -→ Y

    から chain map

    f  : S (X ) -→ S (Y )
 #   *         *

    され , n

    f* : Hn (X) -→ Hn (Y)

    される

  • から される である
  • f,g : X -→ Y

    について , もし f g ホモトピ f g ならば , された chain map chain homotopic であり , H n ( X ) f * = g * となる

  • f  : X  -→ Y
g  : Y  -→ Z
    H n ( X )
    (g∘ f)* = g* ∘ f*

    となる

  • X Y ホモトピ X Y ならば , ての n H n ( X ) ~= H n ( Y ) である

, ホモロジ から ベル への ホモトピ 不変 である , ということで , ホモロジ である

ホモロジ である

  • X から ならば
    H0 (X )  ~=  ℤ
Hn (X )  ~=  0 for n > 0
    X (contractible) ならば
    H0 (X )  ~=  ℤ
Hn (X )  ~=  0 for n > 0
  • X k つなら
    H0(X ) ~= ℤ⊕ ⋅⋅⋅⊕ ℤ
        ◟---◝◜---◞
            k

    , もし X なら

    H0(X ) ~= ℤ

    である

    より えば ,

    π0(X) -→ H0 (X )

    , H 0 ( X ) π 0 ( X ) 生成 された Abel との する ここで π 0 ( X ) X である

  • n S n
             {
     n     ℤ  i = 0,n
Hi (S  ) ~=  0  i ⁄= 0,n

とも , ホモロジ からすぐ できるが , ホモロジ するためには , いくつか である , ホモロジ 使

  • ホモロジ
  • H n ( X, ) ~
= H n ( X )
  • , , , ホモロジ しても
  • (connecting homomorphism)
    ∂ : Hn (X, A) - → Hn -1(A )

  • f : ( X,A ) -→ ( Y,B ) , である
    Hn(X, A) --∂--→ Hn -1(A)
  f*↓             f*↓
H  (Y,B ) --∂--→ H    (B)
  n              n-1

  • ( X,A ) chain complex である
    0 -→ S (A) -→ S (X ) -→ S (X, A) -→ 0,
      *        *         *

                 i*         p*            ∂
⋅⋅⋅ - → Hn (A )-→ Hn(X ) - →  Hn (X,A )-→  Hn-1(A) -→ ⋅⋅⋅
                   ⋅⋅⋅ - →  H0 (A) -→ H0(X ) -→ H0(X,A ) -→ 0.
  • (excisive pair)

ホモロジ ホモロジ すためには , いくつか ある

  • reduced homology ^
H * ( X )
  • x 0 X
    Hn (X )  ~=  H^n (X )⊕ Hn ({x0})
           {
        ~=     ^Hn(X )     n > 0
              ^H0(X) ⊕ ℤ  n = 0
  • NDR ( X,A )
             ~ ^
Hn (X,A) = Hn(X ∕A )

    がある 退 x 0 X ある

    Hn (X, {x0}) ~= ^Hn (X )

  • きの ( X,A ) がある
    ⋅⋅⋅ -→ H^n (A)-i*→ ^Hn (X ) p-*→   Hn(X, A)-∂→  ^Hn- 1(A ) -→ ⋅⋅⋅
                             ^         ^
                    ⋅⋅⋅  -→   H0(A) -→ H0 (X ) -→ H0(X, A) -→ 0
    NDR ( X,A ) がある
    ⋅⋅⋅ -→ H^n (A)-i*→ ^Hn (X ) p-*→   ^Hn(X ∕A )-∂→  ^Hn-1(A ) -→ ⋅⋅⋅
                             ^         ^        ^
                    ⋅⋅⋅  -→   H0(A) -→ H0 (X ) - → H0(X ∕A) -→ 0

ホモロジ である

  • X Y 非負 整数 n がある
    H  (X ∐ Y) ~= H (X )⊕ H (Y )
  n           n       n

    X Y きなら

    H^n (X ∨ Y) ~= ^Hn(X )⊕ ^Hn(Y )

  • Mayer-Vietoris
  • ホモロジ sequential colimit
  • より homotopy colimit しては homology spectral sequence ある

Mayer-Vietoris には relative があるが , キチン かれた くな May Concise Course [ May99 ] Chapter 14 section 5 (cohomology Chapter 19 section 3) べられている , あまり ではない Hatcher [ Hat02 ] 152 かれている 使 であるが , Hatcher chain complex いたもので , ordinary (co)homology にしか しない , ( ) ホモロジ 使 える レベル による Steiner [ Ste84 ] いる

ホモロジ sequential colimit については , May Concise Course Chapter 14 section 6 かれている

ホモロジ けて えると , ある だけ したりで きる

  • ベル A ホモロジ H * ( X ; A )
  • ベル
    0 -→ M1 - f→ M2 -g→  M3 -→  0

    , がある

                      f*             g*            ∂
⋅⋅⋅ -→ Hn (X; M1 ) -→   Hn (X;M2 )-→  Hn(X; M3) -→ Hn -1(X; M1 ) -→ ⋅⋅⋅
                                 f*            g*
             ⋅⋅⋅ -→   H0 (X; M1 )-→ H0 (X;M2 )-→  H0(X; M3) -→ 0
  • 普遍

により symmetric monoidal category chain complex 換環 k graded module tensor product による symmetric monoidal category つまり ホモロジ

Spaces S*(- )→⊗kChains ∕k H-*→( )gModules ∕k

えたとき , つの てが symmetric monoidal structure そこでこれらの symmetric monoidal structure つかどうかというのは ある

  • Eilenberg-Zilber [ EZ53 ] つまり chain map
    ∇   : S *(X )⊗ S*(Y) -→ S*(X × Y )

 ρ  : S *(X × Y ) -→ S*(X )⊗ S*(Y )
    いに chain homotopy inverse にな ているものが する

Eilenberg-Zilber chain homotopy については , acyclic model 方法 されることもあるが , することも である えば では , [ 67 ] ρ がある Eilenberg Mac Lane により [ EML53 EML54 ] されたものであるが

  • Eilenberg-Mac Lane [ EML54 ]
    ∇ : S*(X )⊗ S*(Y ) -→ S*(X × Y)

  • Alexander-Whitney
    ρ : S*(X × Y) - → S*(X) ⊗ S*(Y )

∇∘ ρ chain homotopy については , [ EML54 ] され ている また Shih [ Shi62 ] でも している Shih した chain homotopy については [ Rea00 ] Appendix Rubio として えられている また , その chain homotopy Shih operator ばれて いる

  • Shih operator Rubio

このように , acyclic model 方法 するのではなく , えること トポロジ のような える では である

これらの chain homotopy えるときには , normalized chain complex えた がよい , Eilenberg Mac Lane [ EML54 ] normalized chain complex Eilenberg-Zilber している

  • X normalized singular chain complex S * N ( X )
  • Eilenberg-Mac Lane Alexander-Whitney Shih operator Φ normalized singular chain complex をみたす :
    ρ ∘∇   =  1
∇ ∘ ρ  =  1 +∂ Φ+ Φ ∂
Φ ∘∇   =  0
 ρ∘Φ   =  0

Φ ∘Φ   =  0
  • から される との
    SN (X) Δ-*→ SN (X × X )-∇→ SN (X )⊗ SN(X )
 *         *              *       *

    により S * N ( X ) differential graded coalgebra になる

Eilenberg-Zilber により , ホモロジ chain complex tensor product ホモロジ される とりあえずは 以下 のことを ていればよ いだろう

  • Chain complex する Künneth つまり イデアル k chain complex C D , C k free ならば がある :
    0 -→ H  (C)⊗  H  (D ) -→ H (C ⊗  D) -→ Tork(H (C ),H  (D )) -→ 0
       *     k  *        *    k          1  *      *

    にこの split する

コホモロジ については , ほとんど した ができる

  • コホモロジ
  • ホモロジ して された ホモロジ , その ホモロジ 調 べること

コホモロジ ホモロジ する advantage , つことである

  • コホモロジ における (cup product)
  • コホモロジ において , する
  • 換環 k コホモロジ , により k graded commutative algebra になる

双対 えると , ホモロジ できる

  • H * ( X ; k ) k flat であるとき , H * ( X ; k ) k graded cocommutative coalgebra になる

コホモロジ ホモロジ , そして コホモロジ ホモトピ との 以下

Künneth 普遍 , Künneth スペクトル 普遍 スペクトル として される

Grothendieck ると , chain complex level では derived category えるのが いというが , ホモトピ には モデル functor として えるのが いだ ろう

コホモロジ ホモトピ ホモロジ Dold-Thom である

きの ホモロジ する Abel G えること もできる [ McC69 ] がよいだろう

, ホモロジ ホモトピ 不変 より ホモトピ 不変 ことを している

のように ( ) ホモロジ いて するのはかなり である ( ) ホモロジ めて , とりあえずそこから かるか えてみるのも 方法 である をみたす ( ) ホモロジ , すればよい , のように いてある としては May concise course [ May99 ] がある また [ Gra75 AGP02 ] では ホモトピ いて ( ) ホモロジ して ある

( ) ホモロジ , Eilenberg Steenrod [ ES52 ] による みが である ( ) ホモロジ しか 念頭 になか たのであるが , その K コボルデ ズム により ( ) ホモロジ という れた

Francis [ AF15 ] , factorization homology のために , Eilenberg-Steenrod ( , 1)-category している

( ) ホモロジ したり 利用 したりする には , CW ( ) ホモロジ との ている がある

References

[AF15]     David Ayala and John Francis. Factorization homology of topological manifolds. J. Topol. , 8(4):1045–1084, 2015, arXiv:1206.5522 .

[AGP02]     Marcelo Aguilar, Samuel Gitler, and Carlos Prieto. Algebraic topology from a homotopical viewpoint . Universitext. Springer-Verlag, New York, 2002, https://doi.org/10.1007/b97586 . Translated from the Spanish by Stephen Bruce Sontz.

[EML53]     Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. On the groups H ,n ). I. Ann. of Math. (2) , 58:55–106, 1953, https://doi.org/10.2307/1969820 .

[EML54]     Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. On the groups H ,n ). II. Methods of computation. Ann. of Math. (2) , 60:49–139, 1954, https://doi.org/10.2307/1969702 .

[ES52]     Samuel Eilenberg and Norman Steenrod. Foundations of algebraic topology . Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952.

[EZ53]     Samuel Eilenberg and J. A. Zilber. On products of complexes. Amer. J. Math. , 75:200–204, 1953, https://doi.org/10.2307/2372629 .

[Gra75]     Brayton Gray. Homotopy theory . Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1975. An introduction to algebraic topology, Pure and Applied Mathematics, Vol. 64.

[Hat02]     Allen Hatcher. Algebraic topology . Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

[May99]     J. P. May. A concise course in algebraic topology . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999.

[McC69]     M. C. McCord. Classifying spaces and infinite symmetric products. Trans. Amer. Math. Soc. , 146:273–298, 1969, http://dx.doi.org/10.2307/1995173 .

[Rea00]     Pedro Real. Homological perturbation theory and associativity. Homology Homotopy Appl. , 2:51–88 (electronic), 2000.

[Shi62]     Weishu Shih. Homologie des espaces fibrés. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , (13):88, 1962, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1962__13__88_0 .

[Ste84]     Richard Steiner. The relative Mayer-Vietoris sequence. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 95(3):423–425, 1984, https://doi.org/10.1017/S0305004100061740 .

[ 67]     小松醇 , , and . I . , , 1967.

[ 96]     利弥 . ポアンカレトポロジ . . , , 1996.