Your language?
Nov, 2017
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30

Persistent Homology

なうために Edelsbrunner Letscher Zomorodian [ ELZ02 ] により されたもので persistent homology ばれるものがある Gunnar Carlsson もかかわ ている [ ZC05 ] ようである

現在 では トポロジ つにな ている 2012 Edinburgh での および トポロジ では , 8 ぐらいの 使 われてい たように その した トポロジ でも , ほとんどの persistent homology するものだ その つは , できることにある Persistent homology いて することを topological data analysis (TDA) たり する

にいくつも ている Edelsbrunner Harer [ EH08 ] , Carlsson [ Car09 ] , Bubenik Kim [ BK07 ] , Adler らの [ ABB + 10 ] , Chazal らの [ CdSO14 ] AMS Notices 2011 1 には , Weinberger “WHAT IS [ Wei11 ] がある , Zomorodian [ Zom05 ] Edelsbrunner Harer [ EH10 ] などが ている では , [ 13 ] Curry による cosheaf からの [ Cur15 ] ある

Vjedemo-Johansson [ VJ14 ] うように , これらはほとんどが data analyst けに algorithm かれたものである Vjedemo-Johansson , けに いた , ている

アイデア , Euclid サンプリング してできた (point cloud) から , パラメ いて filtered chain complex , パラメ させたときの homology から point cloud する , という ものである

Filtration homology えば spectral sequence であるが , persistent homology spectral sequence 調 べたものとして Basu Parida [ BP17 ] がある によると , spectral sequence E r -term persistent homology から きるようである

Persistent homology 使 われる filtered chain complex , filtered simplicial complex からできることが いが , point cloud から られる filtered simplicial complex , Vietoris-Rips complex めとして , なものがある

できた homology , poset small category とみなしたものから への functor にな ている そのようなものを , persistence module という Chazal de Silva Glisse Oudot [ CdSGO16 ] るとよい

  • persistence module

Edelsbrunner [ EJM15 ] から matchings への functor とみなすこと している それに いて , Bauer Lesnick [ BL ] stability theorem categorification えている

Persistent homology いられるので , その うまく する 方法 である Bubenik はそのような 方法 persistent homology descriptor んでいる 有名 なものに , barcode persistence diagram とい たも のがある

もちろん , する しないといけない よく するた めに , discrete Morse theory 使 うという アイデア がある Mischaikov Nanda 仕事 ( ここから download できる ) Dlotko Wagner [ DW ] ある

Blumberg [ BGMP14 ] されている persistent homology とし , sampling のことが されていないことがある つまり sampling れた 不変 ではあるが , point cloud ばれる した measure space としての 不変 にはな ていない , ということで ある

Frosini Landi [ FL ] によると , persistent homology より , Frosini により 導入 された として size function というものがある にも , のも のや えられている

Bobrowski Borman [ BB12 ] persistent homology Euler ている Persistent homology する Euler Ghrist らの Euler integration との えていて

Persistent homology たことから , をと らえるためにも 使 えると えてもおかしくはない , MacPherson Schweinhart [ MS12 ] persistent homology いて , P.H. (persistent homology) dimension など している

  • P.H. dimension
  • P.H. self-similarity

P.H. dimension Hausdorff dimension とかなり いもののようである

Edelsbrunner Wagner [ EW ] persistet homology された point cloud することを みている

A えた として Belchí Murillo A -persistence [ BM15 ] がある Belchí [ Bel ] のこと

References

[ABB + 10]     Robert J. Adler, Omer Bobrowski, Matthew S. Borman, Eliran Subag, and Shmuel Weinberger. Persistent homology for random fields and complexes. In Borrowing strength: theory powering applications—a Festschrift for Lawrence D. Brown , volume 6 of Inst. Math. Stat. Collect. , pages 124–143. Inst. Math. Statist., Beachwood, OH, 2010, arXiv:1003.1001 .

[BB12]     Omer Bobrowski and Matthew Strom Borman. Euler integration of Gaussian random fields and persistent homology. J. Topol. Anal. , 4(1):49–70, 2012, arXiv:1003.5175 .

[Bel]     Francisco Belchí. Optimising the topological information of the A -persistence groups, arXiv:1706.06019 .

[BGMP14]     Andrew J. Blumberg, Itamar Gal, Michael A. Mandell, and Matthew Pancia. Robust Statistics, Hypothesis Testing, and Confidence Intervals for Persistent Homology on Metric Measure Spaces. Found. Comput. Math. , 14(4):745–789, 2014, arXiv:1206.4581 .

[BK07]     Peter Bubenik and Peter T. Kim. A statistical approach to persistent homology. Homology, Homotopy Appl. , 9(2):337–362, 2007, arXiv:math/0607634 .

[BL]     Ulrich Bauer and Michael Lesnick. Persistence Diagrams as Diagrams: A Categorification of the Stability Theorem, arXiv:1610.10085 .

[BM15]     Francisco Belchí and Aniceto Murillo. A -persistence. Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. , 26(1-2):121–139, 2015, arXiv:1403.2395 .

[BP17]     Saugata Basu and Laxmi Parida. Spectral sequences, exact couples and persistent homology of filtrations. Expo. Math. , 35(1):119–132, 2017, arXiv:1308.0801 .

[Car09]     Gunnar Carlsson. Topology and data. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) , 46(2):255–308, 2009, http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-09-01249-X .

[CdSGO16]     Frédéric Chazal, Vin de Silva, Marc Glisse, and Steve Oudot. The structure and stability of persistence modules . SpringerBriefs in Mathematics. Springer, [Cham], 2016, arXiv:1207.3674 .

[CdSO14]     Frédéric Chazal, Vin de Silva, and Steve Oudot. Persistence stability for geometric complexes. Geom. Dedicata , 173:193–214, 2014, arXiv:1207.3885 .

[Cur15]     Justin Michael Curry. Topological data analysis and cosheaves. Jpn. J. Ind. Appl. Math. , 32(2):333–371, 2015, arXiv:1411.0613 .

[DW]     Paweł Dłotko and Hubert Wagner. Computing homology and persistent homology using iterated Morse decomposition, arXiv:1210.1429 .

[EH08]     Herbert Edelsbrunner and John Harer. Persistent homology—a survey. In Surveys on discrete and computational geometry , volume 453 of Contemp. Math. , pages 257–282. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008.

[EH10]     Herbert Edelsbrunner and John L. Harer. Computational topology . American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. An introduction.

[EJM15]     Herbert Edelsbrunner, Grzegorz Jabłoński, and Marian Mrozek. The persistent homology of a self-map. Found. Comput. Math. , 15(5):1213–1244, 2015.

[ELZ02]     Herbert Edelsbrunner, David Letscher, and Afra Zomorodian. Topological persistence and simplification. Discrete Comput. Geom. , 28(4):511–533, 2002, http://dx.doi.org/10.1007/s00454-002-2885-2 . Discrete and computational geometry and graph drawing (Columbia, SC, 2001).

[EW]     Herbert Edelsbrunner and Hubert Wagner. Topological Data Analysis with Bregman Divergences, arXiv:1607.06274 .

[FL]     Patrizio Frosini and Claudia Landi. Stability of multidimensional persistent homology with respect to domain perturbations, arXiv:1001.1078 .

[MS12]     Robert MacPherson and Benjamin Schweinhart. Measuring shape with topology. J. Math. Phys. , 53(7):073516, 13, 2012, arXiv:1011.2258 .

[VJ14]     Mikael Vejdemo-Johansson. Sketches of a platypus: a survey of persistent homology and its algebraic foundations. In Algebraic topology: applications and new directions , volume 620 of Contemp. Math. , pages 295–319. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, arXiv:1212.5398 .

[Wei11]     Shmuel Weinberger. What is persistent homology? Notices Amer. Math. Soc. , 58(1):36–39, 2011.

[ZC05]     Afra Zomorodian and Gunnar Carlsson. Computing persistent homology. Discrete Comput. Geom. , 33(2):249–274, 2005, http://dx.doi.org/10.1007/s00454-004-1146-y .

[Zom05]     Afra J. Zomorodian. Topology for computing , volume 16 of Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics . Cambridge University Press, Cambridge, 2005, http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546945 .

[ 13]     . タンパク トポロジ : システントホモロ . , , 2013.