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Persistent homology の表示方法

Persistent homology , poset パラメ として できるが , なの 非負 整数 0 パラメ とするものである そのような には , k persistent homology k [ t ] graded module とみなすことができる k [ t ] PID であることを 使 うと , 生成 , cyclic module することが かる それぞれの cyclic module , パラメ , ある れてから ぬまでを わしていて , それを わしたもの barcode という Zomorodian Carlsson [ ZC05 CZ09 ] により 導入 れた

  • barcode

Burghelea [ BD13 BH ] のように , barcode S 1 して 使 おうと えている もいる もちろん S 1 barcode だけでは , Burghelea らは Jordan cell という えて いる

Barcode くときには 生成 順序 めないといけないが , persistent homology 方法 として , persistence diagram というものもある Edelsbrunner Harer [ EH10 ] 導入 されたものだろうか

  • persistence diagram

この workshop での くの 使 われていた Mileyko, Mukherjee, Harer らは [ MMH11 TMMH14 ] persistence diagram Wasserstein distance という 方法 , またその 調 べている には bottleneck distance という もある このような することにより , られた persistent diagram から がどれぐらい いかが でき るといいが , ながら , これらの である Di Fabio Ferri [ DFF15 ] では , このことに combinatorial explosion という 使 われていて , d’Amico, Frosini, Landi [ dFL06 ] されて いる

  • bottleneck distance
  • Wasserstein distance

には , persistent diagram にしないで , persistence module のままで interleaving distance るという 方法 もある

  • interleaving distance

Bubenik de Silva [ BdSS ] によると , interleaving distance , persistent homology まらず , symplectic geometry , contact geometry , sheaf theory, computational geometry, phylogenetics などで 使 われるようにな ているら しい

また , Fabio Ferri によると , Landi による persistence diagram として 方法 もある そのようにすれば , persistent diagram , それを として される には tropical geometry から としての [ VCa ] もある

Bubenik [ Bub15 ] , しい persistent homology 方法 として , persistence landscape というものを 導入 した その , Mileyko らと じく , Fréchet mean Fréchet variance えることだ たようである

  • persistence landscape

その での いについては , Bubenik Dlotko [ BD17 ] がある

Vongmasa Carlsson [ VCb ] , たに exterior critical series というものを 導入 ている

  • exterior critical series

Barcode , 1 persistence module しては える なことは , exterior critical series multidimensional persistence へも できると いうことのようである

から , lattice theory 使 うという アイデア した Costa Skraba [ vCc ] である

Machine learning computational topology せて 使 うことを として えられた persistence image というもの [ AEK + 17 ] もある

  • persistence image

References

[AEK + 17]     Henry Adams, Tegan Emerson, Michael Kirby, Rachel Neville, Chris Peterson, Patrick Shipman, Sofya Chepushtanova, Eric Hanson, Francis Motta, and Lori Ziegelmeier. Persistence images: a stable vector representation of persistent homology. J. Mach. Learn. Res. , 18:Paper No. 8, 35, 2017, arXiv:1507.06217 .

[BD13]     Dan Burghelea and Tamal K. Dey. Topological persistence for circle-valued maps. Discrete Comput. Geom. , 50(1):69–98, 2013, arXiv:1104.5646 .

[BD17]     Peter Bubenik and Paweł Dłotko. A persistence landscapes toolbox for topological statistics. J. Symbolic Comput. , 78:91–114, 2017, arXiv:1501.00179 .

[BdSS]     Peter Bubenik, Vin de Silva, and Jonathan Scott. Categorification of Gromov-Hausdorff Distance and Interleaving of Functors, arXiv:1707.06288 .

[BH]     Dan Burghelea and Stefan Haller. Graph Representations and Topology of Real and Angle Valued Maps, arXiv:1202.1208 .

[Bub15]     Peter Bubenik. Statistical topological data analysis using persistence landscapes. J. Mach. Learn. Res. , 16:77–102, 2015, arXiv:1207.6437 .

[CZ09]     Gunnar Carlsson and Afra Zomorodian. The theory of multidimensional persistence. Discrete Comput. Geom. , 42(1):71–93, 2009, http://dx.doi.org/10.1007/s00454-009-9176-0 .

[DFF15]     Barbara Di Fabio and Massimo Ferri. Comparing persistence diagrams through complex vectors. In Image analysis and processing—ICIAP 2015. Part I , volume 9279 of Lecture Notes in Comput. Sci. , pages 294–305. Springer, Cham, 2015, arXiv:1505.01335 .

[dFL06]     Michele d’Amico, Patrizio Frosini, and Claudia Landi. Using matching distance in size theory: A survey. International Journal of Imaging Systems and Technology , 16(5):154–161, 2006.

[EH10]     Herbert Edelsbrunner and John L. Harer. Computational topology . American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. An introduction.

[MMH11]     Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John Harer. Probability measures on the space of persistence diagrams. Inverse Problems , 27(12):124007, 22, 2011, http://dx.doi.org/10.1088/0266-5611/27/12/124007 .

[TMMH14]     Katharine Turner, Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John Harer. Fréchet means for distributions of persistence diagrams. Discrete Comput. Geom. , 52(1):44–70, 2014, arXiv:1206.2790 .

[VCa]     Sara Kalisnik Verovsek and Gunnar Carlsson. Symmetric and r -Symmetric Tropical Polynomials and Rational Functions, arXiv:1405.2268 .

[VCb]     Pawin Vongmasa and Gunnar Carlsson. Exterior Critical Series of Persistence Modules, arXiv:1305.4780 .

[vCc]     Primož Škraba and João Pita Costa. A Lattice for Persistence, arXiv:1307.4192 .

[ZC05]     Afra Zomorodian and Gunnar Carlsson. Computing persistent homology. Discrete Comput. Geom. , 33(2):249–274, 2005, http://dx.doi.org/10.1007/s00454-004-1146-y .