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Poset のホモトピー論

Partially ordered set small category とみなし , その nerve 調 べると いうことは , Quillen 70 [ Qui73 Qui78 ] えている Wachs [ Wac07 ] によ ると , それ Gian-Carlo Rota [ Rot64 ] poset Möbius function えたときが “Poset Topology” らしい この Wachs , poset トポロジ には , しておくべきだろう 221 もの げて してある には , Björner [ Bjö95 ] もよい Björner ムペ から scan した PDF download できる Poset ホモトピ については , えば Quillen [ Qui78 ] ある

には , poset えることが いので , nerve からできる ( ) えることが いようである では , poset order complex んでいる Brady McCammond [ BM10 ] orthoscheme という モデル いることで , として している Dlugosch [ Dlu ] , してうまくいかないので , polyhedral pseudo-complex いて する decomposition complex という order complex 導入 して いる

  • poset order complex
  • graded poset orthoscheme complex
  • decomposition complex

からは face poset ることにより poset られる このように poset はほとんど じものとして われることが そのため shellability などのような poset でも 使 われる また simplicial complex face poset した simplicial poset という がよく 使 われる えば , Masuda Panov らの torus manifold トポロジ 研究 [ MP06 ] , graph Boolean complex [ RT09 ] など

Order complex トポロジ いて 調 べる , まず えられるのがその モロジ である

もちろん , poset category とみなし , small category ホモトピ テク することも んに なわれている その 理論 けとしては , Raptis [ Rap10 ] がある そこでは poset category model structure , それが small category category Thomason model structure Quillen であることが されている その equivariant May Stepman Zakharevich [ MSZ ] えて いる

テクニ については , えられたことも えば , closure operator から order complex ホモトピ られることは , adjoint functor nerve ホモトピ から られる

  • closure operator
  • Galois connection

Closure operator については , えば Kozlov [ Koz08 ] にある Galois connection , その しているように , Galois 理論 での Galois 部分 がその であるが , closure operator との poset (small category) として えられている Denecke, Erné, Wismath [ DEW04 ] Erné, Koslowski, Melton, Strecker [ EKMS93 ] ある

この ホモトピ としては , homotopy colimit 使 われている えば , Engström による matroid topological representation theorem [ Eng ] など この のことは , Welker Ziegler Živaljević [ WZŽ99 ] Babson Kozlov [ BK ] るとよい

Small category diagram Grothendieck construction poset index けら れた poset , poset limit ばれているようである その order complex poset order complex でできる homotopy colimit になるという 事実 , small category である Delucci [ Del ] いられて いる

  • poset limit
  • poset limit order complex , poset order complex homotopy colimit ホモトピ

, のことが Janson により [ Jan11 ] されている その たのは , Brightwell Gergiou [ BG10 ] のようであるが これは Lovász Szegedy による graph 理論 poset への である

Homotopy colimit いて される poset する として “Poset Fiber Theorem” がある

その Quillen [ Qui78 ] である Quillen poset 調 べる 使 われるものとして , small category する Theorem A B [ Qui73 ] があ それを poset した したものとして Babson’s criterion がある Anderson Davis [ AD02 ] Appendix B るとよい また Barmak による simple homotopy version [ Bar11 ] もある

Poset する えるときも , small category とみなして えた がよい ようである Babson Kozlov , [ BK05 ] poset への えるために poset ではなく , より loopfree small category (acyclic category) えている Poset P G による “quotient” P∕G には poset にはならないからであ Closure operator との については , Lehmann により [ Leh10 ] 調 べられて いる

Babson Kozlov されている Main Problem , P∕G nerve P nerve G たものの 調 べることであるが , この ホモトピ での Borel construction quotient, つまり homotopy colimit colimit 調 べる ている Borcherds [ Bor98 ] , G P への G から poset category への functor , その Grothendieck construction たものを , それを homotopy quotient んで いる

Loopfree category よりも poset たものとしては Bessis [ Bes ] atomic category がある

“Poset 微分 えている もいる Roberts Ruzzi らは [ RR06 RRV09 RRV13 ] poset bundle やその connection curvature どの している

Mnëv [ Mnë ] では , poset tangent bundle されている

poset T 0 える こともできる その , poset small category とみなしたものの contravariant functor (presheaf) らない

poset finite T 0 -space との , poset にも できる

  • Alexandroff space
  • T 0 Alexandroff space poset
  • Alexandroff space preorder

, poset ホモトピ とは T 0 Alexandroff space ホモトピ ならない Alexandroff space については Kukiela [ Kuk10 ] ると よい

Poset れることは , computer science など ているようで , Nyikos [ Nyi97 ] 10 ほどの とその がある そこで われているのは , rooted tree した poset であるが , poset できるものがほとんどである

ある より トポロジ との としては , をその のなす poset という , したものとして poset うというものがある それを small category したものが Grothendieck topology であるが , そこまで しなくても , poset のままでも はあるようである Roberts Ruzzi [ RR06 ] Ruzzi [ Ruz05 ] など

Poset ホモトピ することも なわれている えば , Arone Mahowald による Goodwillie tower 研究 [ AM99 ] , Arone Dwyer によるその [ AD01 ] などでは , partition から られる poset いら れている また [ Rob04 ] とい 研究 もある

もちろん , トポロジ でも 使 われている えば , link grid diagram らの knot Floer homology えた Sarkar [ Sar12 ] では , poset shellability 使 われている Sarkar はある poset から Cohen-Jones-Segal Morse theory われる flow category PL している

Živaljević , [ Živ98 ] topological poset 研究 めた その motivation とな ているのは , Vassiliev 研究 らしい

  • topological poset

さらに , [ Ž ] では , continuous えている

Topological poset ではないが , トポロジ poset せたような として , semialgebraic poset というものを Hasebe Yoshinaga [ HY ] して いる

  • semialgebraic poset

Euclid semialgebraic set として まれ , また 順序 semialgebraic set として されるものである Stanley poset order polynomial reciprocity [ Sta70 ] semialgebraic poset Euler している

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