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Weak Kan Complex または Quasicategory

Weak Kan complex あるいは quasicategory というのは , ある extension property simplicial set のことである Kan complex small category nerve としてでき simplicial set simplicial set class である

Joyal Tierney [ JT07 ] によると , Boardman Vogt [ BV73 ] により weak Kan complex として 導入 された らしい Joyal quasicategory [ Joy02 ] じものであ ここでは quasicategory ぶことにする

Quasicategory 使 おうとしているのは Lurie だろう “Higher Topos Theory” という [ Lur09 ] いている ArXiv にも [ Lurb ] としてある , Lurie web site からより しい version download できるので , そち らを がよい いので むのは そうに えるが , はとても かりやすい Lurie AMS Notices “WHAT IS でに いているので , まずはそれを むのがよいかもしれない より いものとしては , Groth [ Gro ] がある これは きに Lurie 仕事 したことをまとめたものである Riehl Verity [ RV15 ] category theory として quasicategory 理論 再構 しようとしている えば quasicategory 2-category されて いる

Joyal , quasicategory fibrant object する model structure simplicial set できる ことを したが , まだ のようである Joyal 350 もある lecture note Chapter 6 はこのことについて かれ ている そして , Lurie “Higher Topos Theory § 2.2.5 るべきだ ろう

Lurie quasicategory ( , 1)-category モデル として 使 おうとしているわけで あるが , simplicial category complete Segal space など , にもその のために 使 るものは ある

Quasicategory simplicial category としては , Lurie のものの Dugger Spivak [ DS11 ] もある

Quasicategory enhanced triangulated category モデル としても 使 えることは

  • stable ( , 1)-category [ Lura ]

Lurie stable ( , 1)-category 理論 としては , Ben-Zvi Nadler らの [ BZNa BZFN10 BZNb ] がある また Blumberg Gepner Tabuada [ BGT13 ] によると , idempotent complete stable ( , 1)-category -category algebraic K -theory functor であるらしい

Blumberg Gepner Ando, Hopkins, Rezk [ ABG + ] Thom spectrum orientation 理論 quasicategory いて するのがよい , して いる

トポロジ への えられている Gauthier [ Gau ] 4 morphism とする Kirby category ( , 1)-version などを , -braid -link などを えている

Algebraic K -theory のために , Waldhausen category quasicategory えられ ている Barwick [ Bar16 ] , Fiore Lück [ FL ] , そして Fiore [ Fio ] など ているようであるが

  • Waldhausen quasicategory

Quasi- n -category という ( ,n )-category モデル しているのは , Ara [ Ara14 ] である

References

[ABG + ]     Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra, arXiv:0810.4535 .

[Ara14]     Dimitri Ara. Higher quasi-categories vs higher Rezk spaces. J. K-Theory , 14(3):701–749, 2014, arXiv:1206.4354 .

[Bar16]     Clark Barwick. On the algebraic K -theory of higher categories. J. Topol. , 9(1):245–347, 2016, arXiv:1204.3607 .

[BGT13]     Andrew J. Blumberg, David Gepner, and Gonçalo Tabuada. A universal characterization of higher algebraic K -theory. Geom. Topol. , 17(2):733–838, 2013, arXiv:1001.2282 .

[BV73]     J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces . Springer-Verlag, Berlin, 1973.

[BZFN10]     David Ben-Zvi, John Francis, and David Nadler. Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry. J. Amer. Math. Soc. , 23(4):909–966, 2010, arXiv:0805.0157 .

[BZNa]     David Ben-Zvi and David Nadler. Loop Spaces and Langlands Parameters, arXiv:0706.0322 .

[BZNb]     David Ben-Zvi and David Nadler. The Character Theory of a Complex Group, arXiv:0904.1247 .

[DS11]     Daniel Dugger and David I. Spivak. Rigidification of quasi-categories. Algebr. Geom. Topol. , 11(1):225–261, 2011, arXiv:0910.0814 .

[Fio]     Thomas M. Fiore. Approximation in K -theory for Waldhausen Quasicategories, arXiv:1303.4029 .

[FL]     Thomas M. Fiore and Wolfgang Lück. Waldhausen Additivity: Classical and Quasicategorical, arXiv:1207.6613 .

[Gau]     Renaud Gauthier. Infinity Links L , infinity-4-Manifolds M L and Kirby Categories, arXiv:1309.7514 .

[Gro]     Moritz Groth. A short course on -categories, arXiv:1007.2925 .

[Joy02]     A. Joyal. Quasi-categories and Kan complexes. J. Pure Appl. Algebra , 175(1-3):207–222, 2002, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00135-4 . Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly.

[JT07]     André Joyal and Myles Tierney. Quasi-categories vs Segal spaces. In Categories in algebra, geometry and mathematical physics , volume 431 of Contemp. Math. , pages 277–326. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, arXiv:math/0607820 .

[Lura]     Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry I: Stable Infinity Categories, arXiv:math/0608228 .

[Lurb]     Jacob Lurie. Higher Topos Theory, arXiv:math/0608040 .

[Lur09]     Jacob Lurie. Higher topos theory , volume 170 of Annals of Mathematics Studies . Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009.

[RV15]     Emily Riehl and Dominic Verity. The 2-category theory of quasi-categories. Adv. Math. , 280:549–642, 2015, arXiv:1306.5144 .