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Quiver やそれに関連した構造に対するホモトピー論的な概念

Quiver small category , そして path algebra nerve , small category する ホモトピ quiver など しようというのは アイデア である とも , そのような みは small category ホモトピ せずに なわれてきたようであ るが

Bongartz Gabriel [ BG82 ] translation-quiver , その covering している Covering Riedtmann Auslander-Reiten quiver したものが にな ているようである

  • translation-quiver
  • translation-quiver (Γ ) とその 頂点 x , x とする ) Π 1 ,τ,x )
  • translation-quiver covering
  • translation-quiver universal covering
  • translation-quiver (Γ ) geometric realization | Γ |
  • translation-quiver (Γ ) がある :
    π1(|Γ ,τ|,x) ~= Π1(Γ ,τ,x)

quiver しても , path algebra admissible ideal すれば できる それについては [ dlP86 Gre83 Rey03 Bus04 BC06 ] とい があ Bustamante quiver Q admissible ideal I ( Q,I ) bound quiver でいる この トポロジ との べたのが Reynaud [ Rey03 ] Bustamante [ Bus04 ] である

  • bound quiver ( Q,I )
  • bound quiver ( Q,I ) , Π 1 ( Q,I )
  • quiver Q path algebra parallel ideal I Q
  • simplicial complex K , inclusion から poset Pos( K ) おき quiver とみなすと
    π1(|K |) ~= Π1 (Pos(K ),I   )
                   Pos(K )

  • bound quiver ( Q,I ) しその B ( Q,I ) [ Bus04 ]
  • π 1 ( B ( Q,I )) ~= π 1 ( Q,I )

そして k -linear category しても 被覆 理論 えられて いる

ホモトピ としては , Grigor yan, Lin, Muranov, Yau [ GLMY14 ] 導入 したものがある quiver して , n - 1 たものの として n ホモトピ している これは , [ GLMY ] 導入 した quiver ホモロジ アイデア づくもので ある

  • quiver path homology
  • quiver ホモトピ

また , Babson らが [ BKLW01 ] [ BBdLL06 ] した グラフ ホモト にな ていると している

quiver したもので できるものとしては , oriented system ある

References

[BBdLL06]     Eric Babson, Hélène Barcelo, Mark de Longueville, and Reinhard Laubenbacher. Homotopy theory of graphs. J. Algebraic Combin. , 24(1):31–44, 2006, arXiv:math/0403146 .

[BC06]     Juan Carlos Bustamante and Diane Castonguay. Fundamental groups and presentations of algebras. J. Algebra Appl. , 5(5):549–562, 2006, arXiv:math/0405127 .

[BG82]     K. Bongartz and P. Gabriel. Covering spaces in representation-theory. Invent. Math. , 65(3):331–378, 1981/82, http://dx.doi.org/10.1007/BF01396624 .

[BKLW01]     Hélène Barcelo, Xenia Kramer, Reinhard Laubenbacher, and Christopher Weaver. Foundations of a connectivity theory for simplicial complexes. Adv. in Appl. Math. , 26(2):97–128, 2001, http://dx.doi.org/10.1006/aama.2000.0710 .

[Bus04]     Juan Carlos Bustamante. The classifying space of a bound quiver. J. Algebra , 277(2):431–455, 2004, arXiv:math/0305338 .

[dlP86]     J. A. de la Peña. On the abelian Galois coverings of an algebra. J. Algebra , 102(1):129–134, 1986, http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(86)90131-6 .

[GLMY]     Alexander Grigor’yan, Yong Lin, Yuri Muranov, and Shing-Tung Yau. Homologies of path complexes and digraphs, arXiv:1207.2834 .

[GLMY14]     Alexander Grigor’yan, Yong Lin, Yuri Muranov, and Shing-Tung Yau. Homotopy theory for digraphs. Pure Appl. Math. Q. , 10(4):619–674, 2014, arXiv:1407.0234 .

[Gre83]     Edward L. Green. Graphs with relations, coverings and group-graded algebras. Trans. Amer. Math. Soc. , 279(1):297–310, 1983, http://dx.doi.org/10.2307/1999386 .

[Rey03]     Eric Reynaud. Algebraic fundamental group and simplicial complexes. J. Pure Appl. Algebra , 177(2):203–214, 2003, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00071-3 .