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Topology of Random Objects

Meshulam Wallach , [ MW09 ] , n k skeleton k - 1 p けた ホモロジ について 調 べている , random graph, つまり 頂点 しておいて けたときに ラフ がどうなるかを 調 べる があ たようである それを 2 したのが Meshulam Linial [ LM06 ] である Meshulam らの えたものは Kozlov [ Koz10 ] では random simplicial complex ばれて いる Hiraoka Shirai [ HS16 ] では random cell complex 調 べられて いる

その Kozlov Babson らの [ BHK11 ] によると , random graph 研究 とし ては Erd ˝o  s Rényi [ ER59 ER60 ] 有名 らしい Babson らは random 2-complex (2 1-skeleton けたもの ) について 調 べている Random graph neighborhood complex clique complex トポロジ については , Kahle [ Kah07 Kah09 ] 調 べて いる

Kahle survey [ Kah14 ] なことがまとめられている その されている Singer Interview [ RS05 ] によると , Singer “statistical topology” したらしい Adler らの [ YSA17 ] § 1.2 にも についてまとめら れている

Erd ˝o  s-Rényi model にも モデル されている についたものを 以下 げる :

  • Watts-Strogatz model ( [ WS98 ] )
  • Barabási-Albert model ( [ BA99 AB02 ] )
  • Bohman-Frieze process (Kang Perkins Spencer [ KPS13 KPS15 ] )
  • inhomogeneous random graph model (Söderberg [ Söd02 ] ) Bollobas, Janson, Riordan [ BJR07 ] によるその
  • Panafieu Ravelomanana [ dPR15 ] random multigraph
  • stochastic block model (Abbe Sandon [ AS15 ] )
  • Bienvenu, Débarre, Lambert づいた モデル [ BDL ]

グラフ からは , simplicial complex にも あるいは されるので , それらの ホモロジ などを 調 べるという えられる えば , Costa Farber right-angled Artin group [ CF11 ] , その Betti などを 調 べている Michael Davis Kahle [ DK14 ] , より , graph product ホモロジ 調 べている にも グラフ simplicial complex から られるものについては , でも “random えら れる

Deibel [ Dei ] , random right-angled Coxeter group , random Coxeter group している

  • random Coxeter group

Random simplicial complex 調 べている Farber であるが , はそ について Costa との [ CF ] Introduction いている それによると , mechanical system configuration space, つまり topological robotics きい ものを えるためのようである

Gromov Guth [ GG12 ] によると , random graph には expander である らしい これは , Kolmogorov Barzdin [ Kol93 ] observation だそうで ある

Kahle Meckes [ KM13 ] によると , random simplicial complex model として , つがある

Kahle らは , Betti などを えている Linial Peled [ LP16 ] phase transition threshold について 調 べている Costa Farber [ CF16 ] しい random simplicial complex model 導入 した

Čech complex Vietoris-Rips complex えば persistent homology である , それを 調 べたものとして , Bobrowski Kahle Skraba [ BKS17 ] ある

Lyons [ Lyo09 ] , CW えている そのために , cellular chain complex boundary とみなし , そこからできる matroid えている L 2 -Betti とも あるようである Hiraoka Shirai [ HS16 ] random cell complex えたものである Bernoulli model ばれる random cell complex model persistent homology から 調 べられていて , (cell complex ) Tutte polynomial との られている

  • Bernoulli cell complex model

この Math Overflow とその にあるように , random manifold えられ ている

Pippenger Schleich [ PS06 ] えているが , その motivation にある ようである Chas Lalley [ CL12 ] 2 random んだ self-intersection number について 調 べている

Dunfield [ DT06a DT06b DW11 ] 3 えている

トポロジ するものでは , random knot random link ある Even-Zohar Hass Linial [ EZHLN16 ] によると , だけで なく , によ ても , モデル えられているらし られている モデル については , Even-Zohar [ EZ ] にまとめられて いる

  • random knots and links

Gayet Welshinger [ GW11 ] , random real hypersurface えている

Benedetti Lutz [ BL14 ] random discrete Morse theory という discrete Morse theory 導入 している Adiprasito [ ABL17 ] random discrete Morse theory いて , 5 simplicial manifold , collapsible であるが 5 ではないものを することに している

  • random discrete Morse theory

Ginzburg Pasechnik [ GP17 ] , random chain complexes という タイトル いているが , そこでは random model するのではなく , ての ungraded chain complex, つまり d : V V d 2 = 0 となる d である V ベクトル なので , そのようなものは 限個 しかない その Ker d∕ Im d がある r になるものの , homology r になる とみなし , それを 調 べている Hamiltonian Floer theory だそうで ある

  • random chain complex

Random topology とは えないが topology random object として Gromov 導入 した random group がある presentation random 方法 めるわけであるが , random graph random simplicial complex model があ たように , random group model にも なものがある Ollivier [ Oll05 ] によると なものは つあるらしい

  • random group

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