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凸多面体や oriented matroid の realization space

affine による , その 頂点 まる Euclid での (realizatioin) とは , その 頂点 から Euclid への えるこ とである もちろん , その にな ていないといけない そのような affine をその realization space という d , その 頂点 から d + 1 affine べるので , realization はそれ 頂点 まる realization space ( 頂点 - d - 1) configuration space 部分 ある

realization space については , まず Springer Lecture Notes にある Richter-Gebert [ RG96 ] るべきだろう

ホモトピ からは , configuration space として realization space ホモトピ になるところである ところが のような られて いる

  • 3 realization space
  • 4 realization space ホモトピ [ RGZ95 ]

, matroid polytope として oriented matroid 翻訳 できるので , realization space oriented matroid しする えるの である oriented matroid realization space できるし , oriented matroid えた である えば , 4 realization space についての , oriented matroid realization space する から られる

  • (Mnëv Universality Theorem [ Mnë85 Mnë88 ] ) された semialgebraic set X , realization space X stably equivalent, ホモトピ である rank 3 oriented matroid する

この Universality Theorem Mnëv では sketch しか かれていな いので , Richter-Gebert [ RG95 RG96 RG99 ] oriented matroid [ BLVS + 99 ] などを しないといけない また Adiprasito Padrol [ AP ] Introduction にも しておくとよい Oriented matroid realization space する 3 つの version かれている その , semialgebraic set open simplicial polytope realization space できるという statement について , この Adiprasito Padrol にはち んとした がなか たようで ある

この Mnëv にも 使 われている Vakil [ Vak06 ] など Lee Vakil [ LV ] によると , その にな ているのは Vershik universality philosophy [ Ver88 ] らしい Scheme についても かが えている Lafforgue [ Laf03 ] Lee Vakil [ LV ] など

としては , Belkale Brosnan [ BB03 ] による , グラフ Kirchhoff polynomial する Kontsevich がある

References

[AP]     Karim A. Adiprasito and Arnau Padrol. The universality theorem for neighborly polytopes, arXiv:1402.7207 .

[BB03]     Prakash Belkale and Patrick Brosnan. Matroids, motives, and a conjecture of Kontsevich. Duke Math. J. , 116(1):147–188, 2003, arXiv:math/0012198 .

[BLVS + 99]     Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids , volume 46 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications . Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 1999, http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507 .

[Laf03]     L. Lafforgue. Chirurgie des grassmanniennes , volume 19 of CRM Monograph Series . American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.

[LV]     Seok Hyeong Lee and Ravi Vakil. Mnëv’s universality theorem for schemes, arXiv:1202.3934 .

[Mnë85]     N. E. Mnëv. Varieties of combinatorial types of projective configurations and convex polyhedra. Dokl. Akad. Nauk SSSR , 283(6):1312–1314, 1985.

[Mnë88]     N. E. Mnëv. The universality theorems on the classification problem of configuration varieties and convex polytopes varieties. In Topology and geometry—Rohlin Seminar , volume 1346 of Lecture Notes in Math. , pages 527–543. Springer, Berlin, 1988, http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082792 .

[RG95]     Jürgen Richter-Gebert. Mnëv’s universality theorem revisited. S ém. Lothar. Combin. , 34:Art. B34h, approx. 15 pp. (electronic), 1995.

[RG96]     Jürgen Richter-Gebert. Realization spaces of polytopes , volume 1643 of Lecture Notes in Mathematics . Springer-Verlag, Berlin, 1996.

[RG99]     Jürgen Richter-Gebert. The universality theorems for oriented matroids and polytopes. In Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996) , volume 223 of Contemp. Math. , pages 269–292. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

[RGZ95]     Jürgen Richter-Gebert and Günter M. Ziegler. Realization spaces of 4-polytopes are universal. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) , 32(4):403–412, 1995, arXiv:math/9510217 .

[Vak06]     Ravi Vakil. Murphy’s law in algebraic geometry: badly-behaved deformation spaces. Invent. Math. , 164(3):569–590, 2006, arXiv:math/0411469 .

[Ver88]     A. M. Vershik. Topology of the convex polytopes’ manifolds, the manifold of the projective configurations of a given combinatorial type and representations of lattices. In Topology and geometry—Rohlin Seminar , volume 1346 of Lecture Notes in Math. , pages 557–581. Springer, Berlin, 1988, http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082794 .