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表現可能関手

トポロジ われる , コホモロジ , K 理論 , G P G ( X ) ホモトピ として される

Hn(X; G)  =  [X,K (G,n)]

   K (X)  =  [X,BU  × ℤ]
  PG (X)  =  [X,BG ]

このようなものを したのが , (representable functor) という である

のような Eilenberg-Mac Lane による コホモロジ principal G -bundle BG への ホモトピ としての , Ed. Brown [ Bro62 ] CW から ( ベル ) への ホモト として になる めた

Brown により , コホモロジ Ω スペクトラム による れる

コホモロジ stable homotopy category だから , より triangulated category contravariant functor することを えるのは である それについては , Neeman [ Nee92 ] がある

  • triangulated category での Brown

でも Franke [ Fra01 ] Krause [ Kra02 ] などの えられている また Krause [ Kra07 ] にも がある Brown たない , Casacuberta Neeman [ CN09 ] えている Modoi Stovicek [ MŠ12 ] , Abel chain complex homotopy category でも たないことを している Modoi [ Mod ] では covariant functor えられて いる

Adams version finite complex えているので , その category object けるのは しい そこで triangulated category compact object された functor たしているものに , representable functor になるか , という Adams version えられる Beligiannis [ Bel00 ] Christensen, Keller, Neeman [ CKN01 ] derived category しく 調 べている その Muro Raventós [ MR16 ] えて いる

, Brown , ホモトピ する だから , triangulated category ではなく , モデル する えられていてしかるべきであ ところが , それについてはあまり たらない Heller [ Hel81 ] Rosicky [ Ros05 ] ぐらいだろうか のものとしては , nLab から download できる Jardine preprint がある

  • モデル Brown とその

Heller , たない ( とは らない ) CW Brown , には ではないことを つけている しかし , てば であることも している また covariant functor する についても えている

この , については , MathOverflow にもな ている そこでの として げられているのは , Freyd Heller [ FH93 ] である この , Heller [ Hel81 ] より 版年 しいが , かれたのは いようであ , Heller 1981 でも Dydak [ Dyd77 ] されている いのは , これらの Richard Thompson 使 われていることで ある

simplicial set などの については , その えると きの として , homotopy pushout homotopy pullback すということが えら れる Chorny [ Cho13 ] でそのような られている

Covariant functor については , えば Modoi [ Mod ] Introduction をみ るとよい

References

[Ada71]     J. F. Adams. A variant of E. H. Brown’s representability theorem. Topology , 10:185–198, 1971.

[Bel00]     Apostolos Beligiannis. Relative homological algebra and purity in triangulated categories. J. Algebra , 227(1):268–361, 2000, http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1999.8237 .

[Bro62]     Edgar H. Brown, Jr. Cohomology theories. Ann. of Math. (2) , 75:467–484, 1962. Correction in Ann. of Math., vol. 78 (1963), p. 201.

[Bro65]     Edgar H. Brown, Jr. Abstract homotopy theory. Trans. Amer. Math. Soc. , 119:79–85, 1965.

[Cho13]     Boris Chorny. Brown representability for space-valued functors. Israel J. Math. , 194(2):767–791, 2013, arXiv:0707.0904 .

[CKN01]     J. Daniel Christensen, Bernhard Keller, and Amnon Neeman. Failure of Brown representability in derived categories. Topology , 40(6):1339–1361, 2001, arXiv:math/0001056 .

[CN09]     Carles Casacuberta and Amnon Neeman. Brown representability does not come for free. Math. Res. Lett. , 16(1):1–5, 2009, arXiv:0807.1872 .

[Dyd77]     Jerzy Dydak. A simple proof that pointed FANR-spaces are regular fundamental retracts of ANR’s. Bull. Acad. Polon. Sci. S ér. Sci. Math. Astronom. Phys. , 25(1):55–62, 1977.

[FH93]     Peter Freyd and Alex Heller. Splitting homotopy idempotents. II. J. Pure Appl. Algebra , 89(1-2):93–106, 1993, http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90088-B .

[Fra01]     Jens Franke. On the Brown representability theorem for triangulated categories. Topology , 40(4):667–680, 2001, http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00034-8 .

[Hel81]     Alex Heller. On the representability of homotopy functors. J. London Math. Soc. (2) , 23(3):551–562, 1981, http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s2-23.3.551 .

[Kra02]     Henning Krause. A Brown representability theorem via coherent functors. Topology , 41(4):853–861, 2002, http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00010-6 .

[Kra07]     Henning Krause. Derived categories, resolutions, and Brown representability. In Interactions between homotopy theory and algebra , volume 436 of Contemp. Math. , pages 101–139. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, arXiv:math/0511047 .

[Mod]     George Ciprian Modoi. Constructing cogenerators in triangulated categories and Brown representability, arXiv:1402.7211 .

[MR16]     Fernando Muro and Oriol Raventós. Transfinite Adams representability. Adv. Math. , 292:111–180, 2016, arXiv:1304.3599 .

[MŠ12]     George Ciprian Modoi and Jan Šťovíček. Brown representability often fails for homotopy categories of complexes. J. K-Theory , 9(1):151–160, 2012, arXiv:1012.4109 .

[Nee92]     Amnon Neeman. The Brown representability theorem and phantomless triangulated categories. J. Algebra , 151(1):118–155, 1992, http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(92)90135-9 .

[Ros05]     Jiří Rosický. Generalized Brown representability in homotopy categories. Theory Appl. Categ. , 14:no. 19, 451–479, 2005, arXiv:math/0506168 .