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Ring Spectrum

spectrum , コホモロジ とも しているため , spectrum 導入 された から いられていた しかしながら spectrum では , などを うのは しか をきちん うために May 導入 したのが E -ring spectrum モロジ のために なことを して H -structure したのが Bruner May McClure Steinberger [ BMMS86 ] ある

  • A -ring spectrum
  • E -ring spectrum
  • H -ring spectrum

H E いについては Noel [ Noe14 ] がある

このような operad いた いを させて , Elmendorf Kriz Mandell May (EKMM) [ EKMM97 ] , symmetric monoidal category spectrum した いて EKMM spectrum じことを した approach として Hovey Shipley Jeff Smith [ HSS00 ] による symmetric spectrum である にも orthogonal spectrum という Mandell May による EKMM spectrum もある

いづれにせよ , これらの spectrum では monoid object として ring spectrum ( A -ring spectrum) , commutative monoid object として commutative ring spectrum ( E -ring spectrum) できる

Elmendorf Kriz Mandell May [ EKMM97 ] にも かれているように , このような “structured ring spectrum” では , なえ るため , 便 である できる えば , Szymik [ Szy14 ] p えている それは , Antolín-Camarena Barthel [ ACB ] , χ π k ( R ) ring spectrum R , という されて いる

  • characteristic of ring spectrum

えば , Beardsley [ Bea ] , Ravenel spectrum X ( n ) η つことを ている

イデアル については , Jeff Smith アイデア がある それを , Hovey [ Hov ] Smith ideal している

  • Smith ideal

Hovey , ring spectrum より , closed symmetric monoidal category monoid object Smith ideal している White Yau [ WY ] , れを operad algebra している

Lurie [ Lurb ] , “spectrum での 換環 なうためには いる のがよいと えている スペクトラム symmetric monoidal -category [ Lura ] , その commutative algebra object として E -ring spectrum して いる

ここで E -ring spectrum という , May なるものに られていることに する これらの commutative ring spectrum E -ring spectrum という いられることも May [ May09 ] いてい るように , ホモトピ まで せば できるが , としては のものとし えないといけない この については , この May むべきだ ろう

commutative ring spectrum としては , Richter [ Ric ] ある

このように での つことも いが , きな いとして associative ( E 1 ) commutative ( E ) として E n -ring spectrum があることが げられる そこで , えられた ring spectrum E になるのか , もしなら なければ E n n , という える くる

えば , May [ May75 ] しているのは , BP E -ring spectrum になるか , という である MU E -ring spectrum になるので , その p での localization として BP もなりそうであるが , ながらそうではないようである p = 2 のとき Lawson [ Law ] , Senger [ Sen ] により E 2 p 2 +4 -ring spectrum たないことが されている

また BP n n 4 E 2 p 2 +4 -ring spectrum たないことも ている , BP 2 p = 2 [ HL10 ] p = 3 [ LN12 ] E -ring spectrum になる ことが されている p 5 での BP 2 BP 3 については ていないよう である

コホモロジ twisting えるためには , ring spectrum unit にな みは , May [ May77 ] による E -ring spectrum unit あるが , Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Rezk [ ABG + 14b ABG + 14a ] により structured ring spectrum してその されて いる

  • (associative) ring spectrum E unit A -space GL 1 ( E )
  • commutative ring spectrum E unit spectrum gl 1 ( E )

これについては , Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Rezk [ ABG + ] Sati Westerland [ SW15 ] るとよい

また , Sagave Schlichitkrull [ SS12 ] による diagram space symmetric spectrum いた アプロ もある そこでは symmetric ring spectrum graded unit されている Sagave [ Sag16 ] graded unit spectrum して いる

  • symmetric ring spectrum graded unit

References

[ABG + ]     Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra, arXiv:0810.4535 .

[ABG + 14a]     Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. An -categorical approach to R -line bundles, R -module Thom spectra, and twisted R -homology. J. Topol. , 7(3):869–893, 2014, arXiv:1403.4325 .

[ABG + 14b]     Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra, orientations and Thom spectra via rigid infinite loop space theory. J. Topol. , 7(4):1077–1117, 2014, arXiv:1403.4320 .

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