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Scissors congruence

Scissors congruence とは , えば , P H P 1 P 2 たとき ,

P = P  + P - P ∩ P
     1    2   1   2

とみなす のことである んでから せて にな じとみなすことになるので , scissors congruence という いている には , n n 生成 する ベル れて scissors congruence group , その える

なのは , 以下 scissors congruence である

  • n compact scissors congruence
  • 曲空 での scissors congruence
  • scissors congruence group

Scissors congruence , K 理論 コホモロジ , そして polylogarithm などと がある Cheeger-Chern-Simons secondary characteristic class とも ある した いが , えば Goncharov [ Gon99 ] ると , ている がつかめるかもしれない

はいくつもあるが , としては Sah [ Sah79 ] がある しいものでは Dupont [ Dup01 ] がある Dupont AMS Notices にも “What is ?” [ Dup12 ] いている Survey article では Neumann [ Neu98 ] がいいだ ろう

Goncharov [ Gon99 ] F S n ( F ) している これ F = , hyperbolic および spherical scissors congruence group 部分 とし むものである りの Euclidean scissors congruence group については , [ Gon04 ] E n ( F ) という している S * ( F ) = n S n ( F ) graded commutative Hopf algebra となり , E * ( F ) = n E n ( F ) , その comodule になる Goncharov [ Gon04 ] , その cobar complex したことがらについて , いくつかの てている

Scissors congruence group Waldhausen category algebraic K -theory ( K 0 ) して すことを えているのは , Zakharevich [ Zak12 ] である まぎらわしい であ るが , はある double category “polytope complex” , そこから Waldhausen category している Euclid などの polytope family からでき “polytope complex” K 0 典的 scissors congruence group ある その [ Zak13 ] では , simplicial polytope complex Waldhausen K -theory について 調 べている また , [ Zak17 ] では , assember という 導入 , より scissors congruence みを して いる

Zakharevich , より algebraic K -theory はどのような てい るのだろうか

scissors congruence では n n えるが , Goodwillie [ Goo17 ] n より さいものも めた scissors congruence group 導入 して いる

  • Goodwillie scissors congruence group

, としては , Minkowski sum もある Minkowski sum により commutative monoid , その Grothendieck group ている もいる [ Fun FLT ] など

References

[Dup01]     Johan L. Dupont. Scissors congruences, group homology and characteristic classes , volume 1 of Nankai Tracts in Mathematics . World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2001, http://dx.doi.org/10.1142/9789812810335 .

[Dup12]     Johan L. Dupont. What is a scissors congruence? Notices Amer. Math. Soc. , 59(9):1242–1244, 2012, http://dx.doi.org/10.1090/noti898 .

[FLT]     Stefan Friedl, Wolfgang Lück, and Stephan Tillmann. Groups and polytopes, arXiv:1611.01857 .

[Fun]     Florian Funke. The integral polytope group, arXiv:1605.01217 .

[Gon99]     Alexander Goncharov. Volumes of hyperbolic manifolds and mixed Tate motives. J. Amer. Math. Soc. , 12(2):569–618, 1999, arXiv:alg-geom/9601021 .

[Gon04]     A. B. Goncharov. Euclidean scissor congruence groups and mixed Tate motives over dual numbers. Math. Res. Lett. , 11(5-6):771–784, 2004, arXiv:math/0401354 .

[Goo17]     Thomas G. Goodwillie. Scissors congruence with mixed dimensions. In Manifolds and K -theory , volume 682 of Contemp. Math. , pages 81–139. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, arXiv:1410.7120 .

[Neu98]     Walter D. Neumann. Hilbert’s 3rd problem and invariants of 3-manifolds. In The Epstein birthday schrift , volume 1 of Geom. Topol. Monogr. , pages 383–411 (electronic). Geom. Topol. Publ., Coventry, 1998, arXiv:math/9712226 .

[Sah79]     C. H. Sah. Hilbert’s third problem: scissors congruence , volume 33 of Research Notes in Mathematics . Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1979.

[Zak12]     Inna Zakharevich. Scissors congruence as K -theory. Homology Homotopy Appl. , 14(1):181–202, 2012, arXiv:1101.3833 .

[Zak13]     Inna Zakharevich. Simplicial polytope complexes and deloopings of K -theory. Homology Homotopy Appl. , 15(2):301–330, 2013, arXiv:1102.4278 .

[Zak17]     Inna Zakharevich. The K -theory of assemblers. Adv. Math. , 304:1176–1218, 2017, arXiv:1401.3712 .