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単体的集合とその変種

沿 せることによりできている その はまた であり , せは 結局 頂点 だけで ている あり , どの 頂点 がどの のどの 頂点 しているかがわかれば , ( なもの ) できる えば , これを したのが (simplicial set) である

については , まず May [ May92 ] Curtis [ Cur71 ] らく テキスト であり , また 現在 でもこれらは である ぶためなら Friedman [ Fri12 ] がある より しい については Goerss Jardine [ GJ09 ] cover されている れた [ DH01 ] Dwyer § 3 むと まるだろう

  • とその による
  • Δ から への contravariant functor としての

づけるためには , という になる

|-| singular simplicial set S * ( - ) simplicial set (CW ) えている このことをより べるためには , デル いるのがよい そのためには fibration cofibration ある

これらのことから Kan fibration しい fibration であることが できるだ ろう

, この MathOverflow する Andrade によると , evaluation map | S * ( X ) |→ X , Serre fibration かつ weak equivalence, つまり acyclic fibration (Quillen model structure ) になる

ただ , モデル として simplicial set 使 うときには , Kan complex だと ている もいる Nikolaus [ Nik11 ] , それを するために filler した algebraic Kan complex というものを えている

Kan complex , simplicial set ホモトピ するときにも 使 れる

  • simplicial set ホモトピ

このような だけでなく , する simplicial set して になるかも ておくべきである えば , loop space など

Singular simplicial set simplicial set についても , できるだけたくさん ておいた がよい

, より simplicial space して できることに する Simplicial set れたら , このようなより simplicial object うのも しくな いだろう

Simplicial set しては , chain complex ることができる Simplicial set される Abel をとると simplicial Abelian group ができるが , その Moore complex ればよい Karoubi [ Kar09 ] , より しい quasi-commutative differential graded algebra というものを させることを えてい その algebraic data から simplicial set geometric realization homotopy type できる , らしい

Simplicial set simplicial set simplicial object えるときには bisimplicial object になる これは simplicial object Δ Δ × Δ えただけであるが , Δ small category えたものは えられて いる

S * ( X ) からも かるように , simplicial set はその として られる CW よりも つまり まれている まず なの degenerate である K.S. Brown [ Bro92 ] において essential simplex 導入 した

  • degenerate
  • simplicial set degenerate でない する から CW
  • collapsing scheme
  • collapsing scheme simplicial set , その ホモト essential simplex する CW する

Collapsing scheme をもつ simplicial set CW functorial にしたのが Citterio [ Cit02 ] である Citterio small category への などを えている

Simplicial complex face poset するものとして , simplex category ある Goerss Jardine [ GJ09 ] では , simplicial set する ために いられている Chacholsky Scherer [ CS08 ] でも いられて いる

  • simplex category
  • simplicial set
  • Kan Ex functor

Quick [ Qui11 ] , profinite set category での simplicial object , profinite space んでいる には , simplicial profinite set ぶべきだ ろう

  • simplicial profinite set

Mac Lane Moerdijk [ MLM94 ] VIII 8 では , simplicial set linear order する classifying topos であることが されて いる

  • simplicial set linear order classifying topos

Simplicial set への としては , Lurie らにより derived algebraic geometry などで 使 われている quasicategory (weak Kan complex) ある

もう つの として , Voevodsky した homotopy type theory ある

References

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