各種空間と空間に対する操作

トポロジ ー では 位 相 空 間 とその 間 の 連 続 写 像 を 調 べる 。 ではどの 位 相 空 間 から 始 め ればよだろう ? 世 の 中 には 様 々 な 位 相 空 間 があり , 中 には pathological ( 病 的 ) なものも ある 。 位 相 空 間 論 の 教 科 書 で 読 者 の 「 常 識 」 を 打 ち 砕 くための 反 例 として 選 ばれるよう なもの [ SS95 ] である 。

• 位 相 空 間 と 距 離 空 間
• 変 な 位 相 空 間

“Analysis Situs” [ Poi96 ] で Poincaré が 調 べたか っ たのは 多 様 体 である 。 しかしな がら , 多 様 体 の 圏 の 中 で 議 論 を 済 ませようすると 不便 なことが 多 い 。 可 能 な 操 作 が 非 常 に 限 られてしまうからである 。 実 際 , Poincaré は , 最 初 Euclid 空 間 の 部分 多 様 体 の “homologous” という 関 係 による 同 値 類 の 集 合 を “ ホモロジ ー 群 ” として 定 義 しようとしたのであるが , すぐにその 不 完 全 さを 指 摘 されてま っ た 。 例 えば , 和 を 二 つの 多 様 体 の 和 集 合 として 定 義 しようにも , 部分 多 様 体 の 和 集 合 は 多 様 体 になるとは 限 らない 。 この 困 難 を 克 服 するために , Poincaré は 単 体 分 割 を 持 っ た 空 間 , つまり 単 体 的 複 体 を 考 えざるを 得 なくな っ たので ある 。

• Euclid 空 間 とそれに 関 連 した 空 間
• 曲 面
• 多 様 体
• 向 き 付 け
• 多 面 体
• 単 体 的 複 体

単 体 的 複 体 でもまだ 不 自 由 なことは 多 く , そのため 代 数 的 トポロジ ー では CW 複 体 と 単 体 的 集 合 (simplicial set) という 二 つの 一 般 化 を 持 つに 至 っ た 。 分 野 にもよるが , ’60 年 代 ぐらいまでは CW 複 体 で , 最 近 は simplicial set の 圏 で 議 論 をすることが 多 い 。 もちろん 今 でも CW 複 体 は 重 要 な 概 念 である 。 また , 他 にも 代 数 的 トポロジ ー を 行 なう のに 適 した 圏 は 色 々 ある 。

• CW 複 体 やより 一 般 の cell complex
• 単 体 的 集 合 とその 変 種
• 代 数 的 トポロジ ー を 行 なうのに 便 利 な 圏

このような 一 般 的 な 空 間 の class の 大 雑 把 な 性 質 ではなく , 特 定 の 問 題 に 現 われる 空 間 を 詳 しく 調 べることも 重 要 である 。

• Lie 群 に 関 連 した 空 間
• semialgebraic set やその 一 般 化
• 代 数 多 様 体 や scheme
• 特 異 点 を 持 つ 多 様 体 を 含 む filtered space と stratified space
• 写 像 空 間
• 分 類 空 間

現 代 の 代 数 的 トポロジ ー の 特 徴 として , 空 間 レベル で 様 々 な 操 作 を 行 うことが 挙 げら れる 。 現 代 数 学 に 触 れたことのない 人 は , 「 数 学 とは , 与 えられた 数 から 様 々 な 演 算 や 関 数 を 用 いて 計 算 結 果 を 得 ること 」 と 思 っ ている 人 が 多 いように 思 うが , 誤 解 を 恐 れずに 言 うと , ここで 「 数 」 を 「 空 間 」 に 変 えたことが 実 際 に 行 なわれているのが , 現 代 の 代 数 的 トポロジ ー の 最 大 の 特 徴 ではないかと 思 う 。 例 えば , Goodwillie 流 の 関 手 の 微 分 など 。

• 空 間 に 対 する 各 種 操 作

そのような 空 間 レベル の 操 作 を 行 なう 際 によく 現 れるのが , 空 間 の 図 式 やその 特 別 な 場 合 である 群 作 用 である 。 これらは 空 間 の 概 念 の 一 般 化 とみなすことができる 。 他 にも 様 々 な 一 般 化 された 空 間 が 考 えられており , それらに 対 しても 代 数 的 トポロジ ー の 手 法 が 拡 張 されている 。

• 群 の 作 用 を 持 つ 空 間
• 空 間 の 図 式
• ind-object と pro-object
• fiberwise あるいは parametrized space
• finite space
• stack
• 安 定 ホモトピ ー 論 の 意 味 での spectrum
• 位 相 空 間 の 一 般 化
• 非 可 換 な 空 間

「 代 数 的 トポロジ ー の 手 法 」 の 代 表 的 なものは , ホモロジ ー 群 や ホモトピ ー 群 などの 代 数 的 な ホモトピ ー 不変 量 であるが , そのようなものでは , 位 相 空 間 の 圏 を 完 全 に 記 述 す ることができないことを Freyd が [ Fre70 ] で 示 している 。 この MathOverflow の 質 問 の 回 答 によると , この 結 果 は Freyd uncertainty principle と 呼 ばれているようで ある 。

• Freyd uncertainty principle

References