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安定ホモトピー論でのスペクトラム

スペクトラム という , なる 使 われている ここでは , ホモトピ 研究 である スペクトラム える

Pontryagin-Thom construction により コボルデ ズム はある ホモトピ ( colimit ) できる その スペクトラム という いると , Thom spectrum ホモトピ としてす きりと わすことができる この スペクトラム Lima により 導入 された [ Lim58 Lim59 ] もので ある

スペクトラム については , でもとりあえず Adams [ Ada74 ] むのが いように だと Araki [ 75 ] Kono Tamaki [ 02 ] ぐらいしか ない

レベル えるときには , との である れれば スペクトラム れたことになる 1970 には , そのための infinite loop machine された

ただし , 典的 としての スペクトラム では があるので , ホモトピ では Elmendorf-Kriz-Mandell-May spectrum symmetric spectrum などの モデル 使 われている ただ , その Lima による なものより かなり にな ている

にも Lydakis による Γ-space いたもの [ Lyd99 ] もある Dundas Goodwillie McCarthy [ DGM13 ] Chapter II しく かれて いる

典的 スペクトラム , このような spectrum , ( ホモトピ まで さなくても ) smash product できること , つまり symmetric monoidal category すことである , monoid object commutative monoid object として , 換環 きる

, これらの spectrum では , なえる

このような spectrum ホモトピ には , にもいくつかの アプロ があ Mark Johnson [ Joh01 ] , spectrum topological category presheaf とみな すという みを ている Lydakis simplicial functor として spectrum ている その , Dundas Röndigs Østvær [ DRØ03 ] Biedermann [ Bie ] えられている Lydakis preprint Bielefeld preprint server 1998 のところから できる spectrum としては , Hüttemann Röding [ HR ] がある そこでは twisted functor として げて ある

( ) ホモロジ , equivariant twisted などの があるが , それらについ ても する spectrum がある Pro-object pro-spectrum ばれ , えば , Kronheimer Manolescu [ KM ] などで 使 われている

このように , spectrum いた たが , その ホモト triangulated category すことからも かるように , ホモロジ する としても いることができるようにな には , そのような からは stable model category つとして うべきだ ろう

この model category からは , spectrum , pointed model category stable model category として されるべきだろう そのような して , Hovey [ Hov01 ] がある これは , 典的 spectrum model category したものであり , あるいは けられた きの される Harpaz, Nuiten, Prasma [ HNPa HNPb ] , Heller アプロ [ Hel97 ] づいた × けられたものを 使 うことを して いる

Lurie “Higher Algebra” [ Lur ] , -category spectrum object pointed finite space -category からその -category への “reduced excisive functor” として している この Goodwillie calculus により spectrum linear functor できることによるようである

  • -category spectrum object

では , ホモロジ のために spectrum category enrich れた small category , つまり spectral category いられるようにな いる

References

[Ada74]     J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology . University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1974.

[Bie]     Georg Biedermann. L -stable functors, arXiv:0704.2576 .

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[DRØ03]     Bjørn Ian Dundas, Oliver Röndigs, and Paul Arne Østvær. Enriched functors and stable homotopy theory. Doc. Math. , 8:409–488 (electronic), 2003.

[Hel97]     Alex Heller. Stable homotopy theories and stabilization. J. Pure Appl. Algebra , 115(2):113–130, 1997, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(96)00116-8 .

[HNPa]     Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, and Matan Prasma. Tangent categories of algebras over operads, arXiv:1612.02607 .

[HNPb]     Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, and Matan Prasma. The tangent bundle of a model category, arXiv:1802.08031 .

[Hov01]     Mark Hovey. Spectra and symmetric spectra in general model categories. J. Pure Appl. Algebra , 165(1):63–127, 2001, http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00172-9 .

[HR]     Thomas Hüttemann and Oliver Röndigs. Twisted diagrams and homotopy sheaves, arXiv:0805.4076 .

[Joh01]     Mark W. Johnson. A sheaf-theoretic view of loop spaces. Theory Appl. Categ. , 8:490–508 (electronic), 2001.

[KM]     Peter B. Kronheimer and Ciprian Manolescu. Periodic Floer pro-spectra from the Seiberg-Witten equations, arXiv:math/0203243 .

[Lim58]     Elon Lages Lima. DUALITY AND POSTNIKOV INVARIANTS . ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1958. Thesis (Ph.D.)–The University of Chicago.

[Lim59]     Elon L. Lima. The Spanier-Whitehead duality in new homotopy categories. Summa Brasil. Math. , 4:91–148 (1959), 1959.

[Lur]     Jacob Lurie. Higher Algebra, http://www.math.harvard.edu/ ~ lurie/papers/HA.pdf .

[Lyd99]     Manos Lydakis. Smash products and Γ-spaces. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 126(2):311–328, 1999, http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003260 .

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[ 02]     野明 and . コホモロジ . , , 2002.

[ 75]     . コホモロジ , volume 4 of . , , 1975.