Your language?
Nov, 2018
Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30

Stack

Stack とは “sheaf of categories (groupoids)” である として Gel fand MacPherson Vilonen [ GMV ] Appendix がある その Appendix , sheaf うのと じぐらい stack うことがで きると 納得 させることにある しいことは Giraud [ Gir71 ] るように いてある Kashiwara Schapira [ KS06 ] 最後 では Grothendieck topology category (site) stack について にまとめられて いる

Sheaf presheaf せの たすものとして されるように , stack prestack である たすものとして される

  • prestack

Presheaf なる contravariant functor だから , prestack category category contravariant functor として したいところであるが , category category 2-category つので , である Lax functor として しないといけ ない

Higher stack についての をまとめた Toën [ Toë09 ] では , (1-)stack として Laumon Moret-Bailly [ LMB00 ] げてある Stable curve moduli stack ホモロジ 調 べている Ebert Giansiracusa [ EG11 ] では , Noohi [ Noo ] Heinloth [ Hei05 ] げられている Heinloth web page から download できる Fantechi “Stacks for Everybody” [ Fan01 ] という にまとめら れた もある される はないようであるが , de Jong The Stacks Project からは , 1000 ある “open source” algebraic stack textbook download できる

では , でも われるようにな たが , physist けのものとして Sharpe [ Sha01 ] がある そこに げられている るとよい Vistoli [ Vis89 ] Gomez [ Góm01 ] など

Stack トポロジ したのは , のことである Stack には があるが , Hollander preprint [ Hol08 ] によると , それらは ホモトピ には , つまりそれぞれの による stack model category Quillen になる , らしい Hollander している homotopy limit いている トポ ロジ としている にと ては かり またその である Hollander [ Hol07 ] stack sheaf ホモトピ できると いる

Hollander のものは , groupoid (fiber groupoid である ) stack である , small category つものについては Stanculescu [ Sta ] えて いる

トポロジ での stack について したものとしては , Metzler [ Met ] Noohi [ Noo ] がある Noohi のものは トポロジ での stack けを してい , らしい まず , [ Noo12 ] では , topological stack されている そし , [ Noo14 ] では , topological stack fibration について , fiber homotopy sequence Eilenberg-Moore spectral sequence など , ホモト のことができることを している Coyne との [ CN ] , singular simplicial set functor topological stack への して いる

Carchedi [ Car12 ] , topological stack convenient category, つまり compactly generated stack 2-category している また [ Car ] では , topological および differentiable stack stack 2-category えて いる

  • stack sheaf
  • stack stack

Topological stack としては , Bunke Schick による T -duality についての がある [ BS05 ] たことを [ BS06 ] topological stack いて orbispace している

Topological groupoid (orbifold, orbispace) しては inertia groupoid あるが , Bunke Schick Spitzweck [ BSS08 ] でその stack えて いる

  • inertia stack

微分 では , differentiable stack える étale proper なものを Deligne-Mumford stack ぶようである それらの 称性 えるためには stacky Lie group [ Blo08 ] いるのが いのだろうか

  • differentiable stack
  • Deligne-Mumford stack
  • stacky Lie group

Hepworth , differentiable stack [ Hep09 ] tangent bundle vector field している しているのは differentiable stack Morse theory らしい Lerman Malkin [ LM12 ] , Deligne-Mumford stack 微分 symplectic geometry えている

Berwick-Evans Lerman [ BEL ] , stack vector fields category Lie 2-algebra になることを している

では , まず moduli 使 われる にも , [ TV05 TV TV08 ] などで derived algebraic geometry として いられている Ebert Giansiracusa [ EG11 ] stable curve moduli stack ホモロジ 調 べているが , そこでは Pontrjagin-Thom construction されている Free loop space など [ BZN ] えられている

については , この MathOverflow する では , Romagny [ Rom05 ] るように いてある ArXiv には [ Rom ] という (?) ある

Stack cohomology などの 不変 するという みもある えば , Tu Xu Laurent-Gengoux [ TXLG04 ] では differentiable stack twisted K -theory されている これは orbifold twisted K -theory ある

Stack (lax) sheaf of categories (groupoids) であるが , stratified space では , constructible sheaf stack として Dupont [ Dup ] constructible stack れている

  • constructible stack

また , small category groupoid りに small category groupoid 使 higher stack できる Toën [ Toë09 ] によると , algebraic n -stack Simpson [ Sim ] され , derived scheme derived n -stack Toën Vezzosi [ TV04 TV08 ] により 導入 された Lurie による approach [ Lura Lurb Lurc ] もある

  • derived stack

Derived stack について かくまとめたものとしては , Ben-Zvi Nadler [ BZN ] appendix がある Vezzosi AMS Notices での “What is [ Vez11 ] ある

Sheaf covariant として cosheaf があるが , stack covariant costack , えば Pirashvili [ Pir15 ] などで する

  • costack

References

[BEL]     Daniel Berwick-Evans and Eugene Lerman. Lie 2-algebras of vector fields, arXiv:1609.03944 .

[Blo08]     Christian Blohmann. Stacky Lie groups. Int. Math. Res. Not. IMRN , pages Art. ID rnn 082, 51, 2008, arXiv:math/0702399 .

[BS05]     Ulrich Bunke and Thomas Schick. On the topology of T -duality. Rev. Math. Phys. , 17(1):77–112, 2005, arXiv:math/0405132 .

[BS06]     Ulrich Bunke and Thomas Schick. T -duality for non-free circle actions. In Analysis, geometry and topology of elliptic operators , pages 429–466. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006, arXiv:math/0508550 .

[BSS08]     Ulrich Bunke, Thomas Schick, and Markus Spitzweck. Inertia and delocalized twisted cohomology. Homology, Homotopy Appl. , 10(1):129–180, 2008, arXiv:math/0609576 .

[BZN]     David Ben-Zvi and David Nadler. Loop Spaces and Langlands Parameters, arXiv:0706.0322 .

[Car]     David Carchedi. Sheaf Theory for Étale Geometric Stacks, arXiv:1011.6070 .

[Car12]     David Carchedi. Compactly generated stacks: a Cartesian closed theory of topological stacks. Adv. Math. , 229(6):3339–3397, 2012, arXiv:0907.3925 .

[CN]     Thomas Coyne and Behrang Noohi. Singular chains on topological stacks, arXiv:1502.04995 .

[Dup]     Delphine Dupont. Stacks on stratified space, arXiv:1003.4236 .

[EG11]     Johannes Ebert and Jeffrey Giansiracusa. Pontrjagin-Thom maps and the homology of the moduli stack of stable curves. Math. Ann. , 349(3):543–575, 2011, arXiv:0712.0702 .

[Fan01]     Barbara Fantechi. Stacks for everybody. In European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000) , volume 201 of Progr. Math. , pages 349–359. Birkhäuser, Basel, 2001.

[Gir71]     Jean Giraud. Cohomologie non ab élienne . Springer-Verlag, Berlin, 1971. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 179.

[GMV]     S. Gelfand, R. MacPherson, , and K. Vilonen. Microlocal Perverse Sheaves, arXiv:math/0509440 .

[Góm01]     Tomás L. Gómez. Algebraic stacks. Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. , 111(1):1–31, 2001, arXiv:math/9911199 .

[Hei05]     J. Heinloth. Notes on differentiable stacks. In Mathematisches Institut, Georg-August-Universit ät G öttingen: Seminars Winter Term 2004/2005 , pages 1–32. Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen, 2005.

[Hep09]     Richard Hepworth. Vector fields and flows on differentiable stacks. Theory Appl. Categ. , 22:542–587, 2009, arXiv:0810.0979 .

[Hol07]     Sharon Hollander. Descent for quasi-coherent sheaves on stacks. Algebr. Geom. Topol. , 7:411–437, 2007, arXiv:0708.2475 .

[Hol08]     Sharon Hollander. A homotopy theory for stacks. Israel J. Math. , 163:93–124, 2008, arXiv:math/0110247 .

[KS06]     Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves , volume 332 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] . Springer-Verlag, Berlin, 2006.

[LM12]     Eugene Lerman and Anton Malkin. Hamiltonian group actions on symplectic Deligne-Mumford stacks and toric orbifolds. Adv. Math. , 229(2):984–1000, 2012, arXiv:0908.0903 .

[LMB00]     Gérard Laumon and Laurent Moret-Bailly. Champs alg ébriques , volume 39 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] . Springer-Verlag, Berlin, 2000.

[Lura]     Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry I: Stable Infinity Categories, arXiv:math/0608228 .

[Lurb]     Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra, arXiv:math/0702299 .

[Lurc]     Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry III: Commutative Algebra, arXiv:math/0703204 .

[Met]     David Metzler. Topological and Smooth Stacks, arXiv:math/0306176 .

[Noo]     Behrang Noohi. Foundations of Topological Stacks I, arXiv:math/0503247 .

[Noo12]     Behrang Noohi. Homotopy types of topological stacks. Adv. Math. , 230(4-6):2014–2047, 2012, arXiv:0808.3799 .

[Noo14]     Behrang Noohi. Fibrations of topological stacks. Adv. Math. , 252:612–640, 2014, arXiv:1010.1748 .

[Pir15]     Ilia Pirashvili. The fundamental groupoid as a terminal costack. Georgian Math. J. , 22(4):563–571, 2015, arXiv:1406.4419 .

[Rom]     Matthieu Romagny. A note on group actions on algebraic stacks, arXiv:math/0305243 .

[Rom05]     Matthieu Romagny. Group actions on stacks and applications. Michigan Math. J. , 53(1):209–236, 2005, http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1114021093 .

[Sha01]     Eric Sharpe. Stacks and D-brane bundles. Nuclear Phys. B , 610(3):595–613, 2001, arXiv:hep-th/0102197 .

[Sim]     Carlos Simpson. Algebraic (geometric) n -stacks, arXiv:alg-geom/9609014 .

[Sta]     Alexandru E. Stanculescu. Stacks and sheaves of categories as fibrant objects, arXiv:1403.0536 .

[Toë09]     Bertrand Toën. Higher and derived stacks: a global overview. In Algebraic geometry—Seattle 2005. Part 1 , volume 80 of Proc. Sympos. Pure Math. , pages 435–487. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, arXiv:math/0604504 .

[TV]     Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Segal topoi and stacks over Segal categories, arXiv:math/0212330 .

[TV04]     Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. From HAG to DAG: derived moduli stacks. In Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory , volume 131 of NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. , pages 173–216. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, arXiv:math/0210407 .

[TV05]     Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Homotopical algebraic geometry. I. Topos theory. Adv. Math. , 193(2):257–372, 2005, arXiv:math/0207028 .

[TV08]     Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Homotopical algebraic geometry. II. Geometric stacks and applications. Mem. Amer. Math. Soc. , 193(902):x+224, 2008, arXiv:math/0404373 .

[TXLG04]     Jean-Louis Tu, Ping Xu, and Camille Laurent-Gengoux. Twisted K -theory of differentiable stacks. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) , 37(6):841–910, 2004, arXiv:math/0306138 .

[Vez11]     Gabriele Vezzosi. What is a derived stack? Notices Amer. Math. Soc. , 58(7):955–958, 2011.

[Vis89]     Angelo Vistoli. Intersection theory on algebraic stacks and on their moduli spaces. Invent. Math. , 97(3):613–670, 1989, http://dx.doi.org/10.1007/BF01388892 .