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Symmetric functions

1 n tensor product への による invariant symmetric function (polynomial) という , Chern class ある

Chern class とは B U cohomology としての 生成 をうまく んだものであ るが , いて する , U ( n ) Weyl n だからで ある

  • わされる
  • B U コホモロジ symmetric function Hopf algebra できる

Adem Rechstein [ AR10 ]

      n        n
U(n)∕T  -→  BT  -→  BU (n )

U(n)×  n (S2d+1)n -→ (ℂPd)n - → BU (n)
      T

えることにより , truncated symmetric polynomial えている Truncated symmetric polynomial については , Conca Krattenhaler Watanabe [ CKW09 ] でも えられているようである

については , Hazewinkel [ Haz03 Haz05 ] るとよい Hazewinkel げているのは , noncommutative symmetric function quasisymmetric function である

Aguiar Bergeron Sottile [ ABS06 ] によると , quasisymmetric function algebra Gessel [ Ges84 ] えたものらしい Hopf algebra との については , Ehrenborg [ Ehr96 ] らしい

matroid 不変 として quasisymmetric function しているのは , Billera Jia Reiner [ BJR09 ] である Luoto [ Luo08 ] るとよい

  • matroid quasisymmetric function

Aguiar らは , symmetric function combinatorial Hopf algebra cocommutative combinatorial Hopf algebra category terminal object であること した また quasisymmetric function combinatorial Hopf algebra combinatorial Hopf algebra category terminal object であることも した

Retakh [ Ret10 ] によると , Gel fand らの noncommutative symmetric function 理論 [ GKL + 95 ] において ステ たのは , 換環 での たようで ある

これらの combinatorial Hopf algebra むより symmetric function” Hopf algebra えられている Menous Novelli Thibon [ MNT13 ] では , のものが 使 われている

  • free quasisymmetric function
  • word quasisymmetric function
  • matrix quasisymmetric function

についても えられているようである Hsiao Karaali [ HK11 ] では , quasisymmetric function する multi-graded Hopf algebra 調 べられて いる

  • level symmetric function
  • level quasisymmetric function

Symmetric function BU コホモロジ できることから , B U いて レベル えた Lam [ Lam11 ] によ されてい として , quasisymmetric function がある Hopf コホモロジ にならないか , というのは であるこれについては Baker Richter [ BR08 ] がある

  • ΩΣ P コホモロジ quasisymmetric function Hopf algebra できる
  • ΩΣ P ホモロジ noncommutative symmetric function Hopf algebra できる

Quasisymmetric function Hopf algebra multiple zeta value などとも [ Hof05 ] がある

Hivert Thiéry [ HT ] では , symmetric group した tower of algebra えることにより , quasisymmetric function noncommutative symmetric function しい つけられている Tower of algebra とは , graded algebra , homogeneous component ( ) それぞれ algebra にな ているもので ある

  • tower of algebras

より tower of algebra からできる combinatorial Hopf algebra については , Bergeron Lam Li [ BLL08 ] 調 べられている

したものとしては , Stanley chromatic symmetric function [ Sta95 ] がある その graph chromatic polynomial がある その quasisymmetric については , Shareshian Wachs [ SW12 SW16 ] により 調 られている

  • chromatic symmetric function
  • chromatic quasisymmetric function

Chmutov, Kazarian, Lando [ CKL ] によると , chromatic symmetric function KP hierarchy があるらしい

Symmetric polynomial については , Vaccarino [ Vac ] 調 べているもの もある ある 換環 k module M , M n への Σ n による invariant module える M tensor algebra のときにその Abel した monoid ring GL による invariant として している また [ Vac07 ] では M 調 べている

Categorification から , symmetric function “odd counterpart” えているのは , Ellis Khovanov [ EK12 ] である symmetric function , による invariants であるが , Lauda Russel [ LR14 ] , Ellis Khovanov ring of odd symmetric functions , skew polynomial ring Hecke algebra による invariants として せることを して いる

References

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