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Symmetric monoidal category など “可換な積” を持つ圏

Monoidal category unit をみたすものであるが , をみたすとき symmetric monoidal category という もちろん , についても coherence condition として すべきであるが

Markl Shnider Stasheff による operad [ MSS02 ] には symmetric monoidal category についての もある Hovey モデル [ Hov99 ] Chapter 4 にも がある A. Voronov web site にある する にまと ている にも quantum group にも がある Kassel [ Kas95 ] など のついた monoidal category めたものとして Selinger [ Sel11 ] がある 使 うには 便 である があ るが

Coherency condition なので , , , unit てについて strict にな ているものを えることもある そのようなものを permutative category という Isbell [ Isb69 ] により , symmetric monoidal category permutative category になる

トポロジ との では , まず きく つの がある つは , もう つは operad である

Operad May により され , 理論 いられ であるが , その では symmetric monoidal category であるこ としか 使 われていない より symmetric monoidal category でも operad をそのまま できる 現在 operad いられているが , その として symmetric monoidal category である そのため , Markl Shnider Stasheff による operad [ MSS02 ] には symmetric monoidal category についての がある

Spectrum category symmetric monoidal structure うような symmetric monoidal category category symmetric monoidal structure については , Schmitt [ Sch ] えられている

Small symmetric monoidal category , Getzler [ Get09 ] pattern という している Colored operad する のようで ある

  • pattern

Symmetric monoidal cateogry C では , ある object tensor する

⊗X  : C -→ C

right adjoint

   X
(- ) : C -→ C

つことが , Y X X から Y への morphism される ことも つまり C C により enrich された になるのである これら つとき “closed” であるという えば , [ Bor94 ] などに ある

  • finite product Cartesian closed であることの
  • symmetric monoidal category closed であることの
  • compact closed category

では , closed symmetric monoidal category limit colimit じているものを , cosmos ぶこともあるようである Schäppi [ Sch13 ] など

Compact closed category , Kelly により [ Kel72 ] され , Kelly Laplaza により [ KL80 ] 調 べられている Houston [ Hou08 ] によると , computer science , より には quantum information [ AC04 ] 使 われるようにな たら しい

Symmetric monoidal category dualizable object しては , trace できる Ponto Shulman [ PS14 ] むとよい

その えられている Joyal Street Verity [ JSV96 ] , symmetric monoidal という braided monoidal という めることを えた

Picard category という symmetric monoidal category , triangulated category determinant functor となるものである Breuning [ Bre11 ] がある

symmetric monooidal category Hill Hopkins [ HH ] により 導入 されている そのために , symmetric monoidal coefficient system という 導入 ている また , , category monoidal structure については , Guillou May [ GM ] えている

  • symmetric monoidal G -category
  • symmetric monoidal coefficient system
  • G -equivariant symmetric monoidal category

symmetric monoidal category としては , Fong thesis [ Fon ] 導入 された hypergraph category がある Network diagram するための 導入 された Fong 仕事 については , Baez による blog ある

  • hypergraph category

ではより symmetric monoidal bicategory もよく 使 われるようにな きた ( , 1)-category での symmetric monoidal structure についても Lurie によ えられている

Glasman [ Gla16 ] では Day convolution という 2 つの symmetric monoidal category functor category symmetric monoidal structure symmetric monoidal ( , 1)-category されている この Day convolution Day 1970 thesis されたもののようである Day thesis Street website から download できる

  • Day convolution

になるものとしては , nLab がある

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