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位相空間の K 理論の基本

K 理論 について ぶには むのがよいのだろうか まずは Olsen Szabo [ OS99 ] § 2 てみるのもよいかもしれない にまと められているので D-brane charge K -theory であるが とも , D -brane charge K -homology として えるのが いようで ある

K 理論 について ぶためには , まずその がある Atiyah Hirzebruch [ AH59 ] により K 理論 トポロジ 導入 されて , トポロジ では K 理論 方法 されてきた

  • ベクトル Abelian monoid から group completion により
  • Compact Hausdorff space X C * C ( X ) 生成 projective module Abelian monoid group completion
  • ホモトピ [ X,B U × ] もしくは [ X,B O × ]
  • separable Hilbert space H Fredholm operator Fred( H ) いて ホモトピ [ X, Fred( H )] える [ Jän65 Ati67 ]
  • ( X,A ) X ベクトル ξ 1 ξ 2 , そしてこれらの A α いた relative K -theory K ( X,A )
  • ベクトル chain complex による K ( X,A )
  • K 理論 いた ( Michael Paluch preprint )

Compact Hausdorff では , これらの える しかし ながら , compact でない には には うものになる えば , 1 3 いについては , この MathOverflow されて いる

トポロジ にと 事実 , K 理論 コホモロジ になるというこ とである そのためには Bott である

  • Bott
  • Bott いて コホモロジ K * ( X ) KO * ( X ) すること
  • K * ( X ) KO * ( X ) コホモロジ になること

K 0 ( X ) bounded Fredholm operator への ホモトピ として され ることの , K 1 ( X ) operator への ホモトピ として することもでき Atiyah-Singer [ AS69 ] [ DK10 ] など

K -theory 調 べる には , Atiyah-Hirzebruch spectral sequence である

Chromatic からは , p mod p K 理論 Morava K 理論 という コホモロジ つとみなすべきである このことに しては のことを ておくとよい つの われる Adams summand いう

  • p K * ( X ) ( p ) p - 1 への natural [ Ada74 ]
  • p K * ( X ; ∕p ) p - 1 K (1) * ( X ) への natural [ Ada74 ]
  • Morava K 理論

K 理論 として , Chern class がある

K -theory コホモロジ として , spectrum されるが , その spectrum には 方法 がある Hohnhold Stolz Teichner ここから では , Bott periodicity れる いた 8 つの 方法 べられている Wang [ Wan ] では , Segal [ Seg74 ] section 最後 かれている づく chain complex から 方法 使 われて いる

  • K -theory する

これらは , 典的 として K -theory spectrum する であるが , もちろん , spectrum としての もある

  • Joachim による KO する symmetric spectrum [ Joa01 ]
  • Gaudens Markert [ GM ] による connective K -theory する spectrum 2 -equivariant symmetric ring spectrum としての

また 以下 のような ている

  • K KO する spectrum E 一意 (Baker Richter [ BR05 ] )
  • ku ko する spectrum E 一意 (Baker Richter [ BR08 ] )

References

[Ada74]     J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology . University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1974.

[AH59]     M. F. Atiyah and F. Hirzebruch. Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. , 65:276–281, 1959.

[AS69]     M. F. Atiyah and I. M. Singer. Index theory for skew-adjoint Fredholm operators. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , (37):5–26, 1969.

[Ati67]     M. F. Atiyah. K -theory . Lecture notes by D. W. Anderson. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1967.

[BR05]     Andrew Baker and Birgit Richter. On the Γ-cohomology of rings of numerical polynomials and E structures on K -theory. Comment. Math. Helv. , 80(4):691–723, 2005, arXiv:math/0304473 .

[BR08]     Andrew Baker and Birgit Richter. Uniqueness of E structures for connective covers. Proc. Amer. Math. Soc. , 136(2):707–714 (electronic), 2008, arXiv:math/0506422 .

[DK10]     Ronald G. Douglas and Jerome Kaminker. Spectral multiplicity and odd K -theory. Pure Appl. Math. Q. , 6(2, Special Issue: In honor of Michael Atiyah and Isadore Singer):307–329, 2010, arXiv:0801.2815 .

[GM]     Gérald Gaudens and Elke Markert. An Operator model for connective K -theory with reality, arXiv:1307.3143 .

[Jän65]     Klaus Jänich. Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren. Math. Ann. , 161:129–142, 1965.

[Joa01]     Michael Joachim. A symmetric ring spectrum representing KO -theory. Topology , 40(2):299–308, 2001, http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00063-4 .

[OS99]     Kasper Olsen and Richard J. Szabo. Constructing D-branes from K -theory. Adv. Theor. Math. Phys. , 3(4):889–1025, 1999, arXiv:hep-th/9907140 .

[Seg74]     Graeme Segal. Categories and cohomology theories. Topology , 13:293–312, 1974, http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6 .

[Wan]     Y. S. Wang. Simplicial Waldhausen Categories and Topological K -theory, arXiv:1705.05192 .

[Yau06]     Donald Yau. On λ -rings and topological realization. Int. J. Math. Math. Sci. , pages Art. ID 91267, 21, 2006, arXiv:math/0501515 .