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Topological Complexity

Lusternik-Schnierelmann category 不変 として Farber topological complexity というものを [ Far03 ] した

その motivation motion planning, つまり x 0 ,x 1 X , x 0 とし x 1 とする 方法 があるか , という である Farber , motion planning について topological robotics という タイトル [ FTY03 FY04 ] ている

これは , つまり evaluation map による

π : Map(I,X ) -→ X × X

cross section するか , という である X × X 全体 では しない かもしれないが , X × X すれば , その さな では るかもしれない その X topological complexity TC( X ) ある

  • X TC( X )

まず ておくべきことは , π global motion planning するのは のみであることである

  • motion planning するための , X であることで ある

このことから , topological complexity Lusternik-Schnierelmann category いことが かる また π fibration だから Schwarz genus とも ある

以下 Farber いてある

  • TC( X ) ホモトピ 不変 である
  • X path-connected paracompact locally contractible space ならば
    TC (X) ≤ 2dim X - 1

  • X path-connected paracompact space ならば
    cat(X ) ≤ TC (X) ≤ 2cat(X )- 1

  • H*(X; k)⊗ H*(X; k) -→ H *(X;k)

    kernel I とおくとき , TC( X ) I 0 にならないもの さで なもの 以下 である

  • X topological complexity π Schwarz genus する
  • X Y path-connected ならば
    TC(X × Y ) ≤ TC (X )+ TC (Y)- 1

さな topological complexity upper bound については [ CF10 ] 調 べられている

する , まず Farber がある Hyperplane arrangement complement については , Farber Yuzvinsky [ FY04 ] があり , その boundary manifold Dan Cohen Suciu [ CS06 ] がある その から 以下 のことが かる

  • TC( X ) - cat( X ) はいくらでも きくなり

Yuzvinsky [ Yuz07 ] r n hyperplane (generic ) arrangement complement topological complexity している

Arrangement えば configuration space であるが , Farber Grant [ FG09 ] , Euclid configuration space topological complexity している きづけ 調 べているのが Danial Cohen Farber [ CF11 ] ある Farber Grant Yuzvinsky [ FGY07 ] がある topological complexity えている グラフ configuration space につ いては , Scheirer [ Sch ] tree Abrams モデル いて 調 べて いる

Configuration space topological complexity について ているかにつて , Dan Cohen survey [ Coh ] るとよい

Right-angled Artin group G Γ K ( G Γ , 1) topological complexity たのは , Daniel Cohen Pruidze [ CP08 ] である

Lens コホモロジ いて 調 べているのは Farber Grant [ FG08 ] である Grant Massey product 使 うこと [ Gra09 ] えている Grant [ Gra12 ] では , 使 うことを えている

実射 immersion との には がある Farber Tabachnikov Yuzvinsky [ FTY03 ] である その Gonzalez Grant , ても 調 べられている Gonzalez Landweber [ GL09 ] Introduction をみると よい

としては , のようなものがある

  • symmetric topological complexity (Farber Grant [ FG07 ] )
  • higher topological complexity (Rudyak [ Rud10 ] )
  • higher symmetric topological complexity (Rudyak [ Rud10 ] )
  • equivariant topological complexity (Colman Grant [ CG12 ] )
  • Q-topological complexity (Fernández Suárez Vandembroucq [ SV ] )
  • simplicial complexity (González [ Gon ] )

higher topological complexity Basabe により [ Bas ] 調 べられて いる

References

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