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Topological Data Analysis

Topological data analysis という がある くの point cloud すな わち Euclid された 散集 とみなし , それを topological 調 べることによりその すことを 研究 する , てよいだろう では TDA して ばれるのが である Chazal Michel survey [ CM ] むと めるかもしれ ない

TDA 使 われる topological として しているのは persistent homology である

また , point cloud のような , 再構 することも えられている Chazal Oudot [ CO08 ] manifold reconstruction という 使 ている Manifold learning だろうか Stratified space じことを えた , stratification learning というものもある Skraba Wang [ SW14 ] げられている MathSciNet には されていない いが

  • manifold learning
  • stratification learning

Stratification learning のために , intersection homology local homology への Bendich Harer [ BH11 ] えている

もちろん するのは であるが , 不変 point cloud から せるとよい , えば , Dey, Fan, Wang [ DFW ] point cloud から する アルゴリズム えている

より ホモトピ として Blumberg Mandell [ BM13 ] によるものがある Persistent homology のような ホモロジ による 不変 れないものを ホモトピ いて 調 べることを している もちろん , ホモトピ するのは であるが , その わりに ホモロジ 調 べることにし , する Hom complex している アイデア にな ているのは Gromov quantitative homotopy theory [ Gro99 ] のようであ るが

  • quantitative homotopy theory

F. Manin [ Man ] によると , Gromov アイデア [ Gro78 ] れているら しい

Gromov , かどうか , という から ている そのと きに になるのが であることである 理論 null homotopic loop であ ても , 1 めるのに でも 10 30 かか るようなものなら でない loop とみなしてよいのではないか , いる

かに , topological data anaylsis のような には , されたものではなく , さや きさも して された ホモトピ 不変 いた がよいだろう

Blumberg Lesnik [ BL ] filtered topological space homotopy interleaving 導入 している

  • homotopy interleaving

, TDA ホモトピ しているようである

References

[BH11]     Paul Bendich and John Harer. Persistent intersection homology. Found. Comput. Math. , 11(3):305–336, 2011, http://dx.doi.org/10.1007/s10208-010-9081-1 .

[BL]     Andrew J. Blumberg and Michael Lesnick. Universality of the Homotopy Interleaving Distance, arXiv:1705.01690 .

[BM13]     Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. Quantitative homotopy theory in topological data analysis. Found. Comput. Math. , 13(6):885–911, 2013, arXiv:1309.6628 .

[CM]     Frédéric Chazal and Bertrand Michel. An introduction to Topological Data Analysis: fundamental and practical aspects for data scientists, arXiv:1710.04019 .

[CO08]     Frédéric Chazal and Steve Y. Oudot. Towards persistence-based reconstruction in Euclidean spaces. In Computational geometry (SCG’08) , pages 232–241. ACM, New York, 2008, http://dx.doi.org/10.1145/1377676.1377719 .

[DFW]     Tamal K. Dey, Fengtao Fan, and Yusu Wang. Dimension Detection with Local Homology, arXiv:1405.3534 .

[Gro78]     Mikhael Gromov. Homotopical effects of dilatation. J. Differential Geom. , 13(3):303–310, 1978, http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214434601 .

[Gro99]     Mikhael Gromov. Quantitative homotopy theory. In Prospects in mathematics (Princeton, NJ, 1996) , pages 45–49. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

[Man]     Fedor Manin. Volume distortion in homotopy groups, arXiv:1410.3368 .

[SW14]     Primoz Skraba and Bei Wang. Approximating local homology from samples. In Proceedings of the Twenty-Fifth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms , pages 174–192. ACM, New York, 2014, arXiv:1206.0834 .