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Topological groupoid のトポロジーと幾何学

トポロジ での groupoid としては , “generalized space” としてのものが である その , groupoid には ていることが より には , object morphism , structure map であるもの , つまり での groupoid object にな ていることが いのである このようなものを topological groupoid という

, である

  • G X ( から ) しているとき object X , morphism G × X とすれば topological groupoid になる これを global quotient とか translation groupoid などと
  • Global action

Global action とは , Bak higher algebraic K -theory のために である Bak Brown Minian Porter [ BBMP06 ] ると よい

には , けた topological groupoid える

  • Lie groupoid [ BW97 ]
  • proper groupoid
  • foliation groupoid
  • étale groupoid
  • orbifold とは proper étale Lie groupoid のこと

これらの については Moerdjik [ Moe02 ] るとよい

Étale groupoid orbifold などの である Pronk [ Pro96 ] Grothendieck etundue いた けがある また , との でも inverse semigroup して をはたしている Paterson [ Pat99 ] など Resende [ Res07 ] étale groupoid とある quantale (quantum locale) であることを している このような [ PR12 ] えられて いる

Lie groupoid としては Zhu [ Zhu09 ] Lie n -groupoid stacky Lie groupoid という えている Étale Lie groupoid たものとして , Tang [ Tan06 ] pseudo étale groupoid という えて いる

  • n - groupoid
  • stacky Lie groupoid
  • pseudo étale groupoid

には stack いるのが なのだろうか

topological groupoid からは , convolution algebra (groupoid algebra) をとるこ とにより , C * -algebra , つまり られる Debord Lescure lecture note [ DL10 ] にまとめられていてよい それによると , groupoid C * -algebra としては Khoshkam Skandalis [ KS04 ] がよいようで ある

  • reduced groupoid C * -algebra
  • full groupoid C * -algebra

このように topological groupoid “generalized space” える その からは , する groupoid ようと えるのは だろう Lie groupoid しては , Lie する したい , みがある えば 以下 のもので ある

これらの , つは , やはり Moerdijk [ Moe02 ] いてある Adem Leida Ruan [ ALR07 ] にも がある

Nistor Weinstein Xu [ NWX99 ] pseudodifferential operator えて いる そこでは manifold with corners した Lie groupoid われて いる

Kalisnik [ Kal11 ] Lie groupoid vector bundle する Serre-Swan えている

Loop groupoid , その groupoid free loop space にな るように られた topological groupoid である Lupercio Uribe により [ LU02 ] された Loop があれば string topology しよ うという れるのは であり , Noohi [ BGNX12 GN ] により られている Noohi [ Noo10 ] はより mapping stack 調 べて いる

Vector bundle があれば K -theory えられる より 以下 のような コホモロ えられる

  • groupoid K -theory
  • groupoid sheaf
  • コホモロジ

Topological groupoid topological category であるので , その きる

  • topological groupoid

不変 使 うのが , topological groupoid 不変 する 方法 だろう ホモトピ をその 方法 することもできるが , Mrcun [ Mrc ] Jelenc [ Jel13 ] にあるよう , ( I n ,∂I n ) principal bundle ホモトピ として するこ ともできる Jelenc topological groupoid Serre fibration して いる

  • topological groupoid ホモトピ
  • topological groupoid Serre fibration

Topological groupoid ホモロジ としては , Crainic Moerdijk [ Cra02 ] したものがある Étale groupid するものであるが としては , Matui [ Mat12 ] などがある

より には , topological groupoid モデル えたいところである ( たない ) groupoid モデル としては , Anderson [ And78 ] てあるものがある

Topological groupoid モデル については , らない まず , weak equivalence になる それについては , Colman [ Col11 ] しているものがある Colman えているのは Lie groupoid であるが , topological groupoid にもそのまま できる この Colman weak homotopy equivalence weak equivalence として topological groupoid モデル りそうで ある

Gepner Henriques [ HG ] モデル にかなり いものを ている ちらかというと ホモトピ weak equivalence とする モデル いが

なる としては , ても Grothendieck topology えるも のがある Meyer Zhu [ MZ ] である Grothendieck topology (pretopology あるいは covering) での groupoid object , 調 べて いる

  • pretopology での groupoid object

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